(Valor 2.0 pts ) Seja W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}: x=y\right. e \left.z=w\right\}.
(a) Encontre uma base e dimensão de W.
(b) Encontre uma base e dimensão de W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 : x=y \text{ e } z=w\}.
As perguntas são:
(a) Encontrar uma base de W e a dimensão de W.
(b) Encontrar uma base de W^{\perp} e a dimensão de W^{\perp}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\text{condições em }W:\quad x=y,\qquad z=w.çõ
Não há figura nem tabela; tudo o que precisamos vem dessas igualdades.

Passo 2

Primeiro vamos descrever W de forma mais prática, escrevendo um vetor genérico que satisfaça as condições x=y e z=w.
Sejam a e b números reais tais que a=x=y e b=z=w. Então um vetor genérico de W tem a forma
(a,a,b,b).
Isso é uma parametrização de W em termos dos parâmetros a e b. Vou agora reescrever essa forma como combinação linear de vetores fixos (isso já dá um candidato natural para base):
(a,a,b,b)=a\,(1,1,0,0)+b\,(0,0,1,1).
Explicação rápida do que fiz: escolhi a e b como parâmetros independentes e escrevi o vetor como soma de a vezes um vetor mais b vezes outro vetor. Se isso for verdade para todo vetor de W, então esses dois vetores geram W.

Passo 3

Agora vou provar que os vetores
v_1=(1,1,0,0),\qquad v_2=(0,0,1,1)
geram W e são linearmente independentes, logo formam uma base.
  1. Geram W: já mostrei que qualquer vetor de W é (a,a,b,b)=a\,v_1+b\,v_2. Portanto \mathrm{span}\{v_1,v_2\}=W.
  2. Linearmente independentes: suponha que existam escalares c_1,c_2\in\mathbb{R} tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
c_1(1,1,0,0)+c_2(0,0,1,1)=(c_1,c_1,c_2,c_2)=(0,0,0,0).
Isso implica c_1=0 e c_2=0. Portanto os vetores são linearmente independentes.
Como temos dois vetores linearmente independentes que geram W, eles formam uma base de W e a dimensão de W é 2.

Passo 4

Resumo parcial (útil para a prova): qualquer vetor de W pode ser escrito unicamente como a\,v_1+b\,v_2. Na prova, para mostrar que um conjunto é base, normalmente faço duas coisas: (i) mostro que gera o subespaço (parametrização); (ii) mostro que é linearmente independente (resolver a combinação linear nula). Esse padrão é prático e rápido em provas.

Passo 5

Agora vamos encontrar W^{\perp}. Pelo significado de complemento ortogonal, um vetor
u=(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4
pertence a W^{\perp} se e só se for ortogonal a todo vetor de W, isto é, o produto interno padrão (produto escalar) deve ser zero para todo vetor em W.
Lembrete sobre produto escalar (mini-aula): o produto escalar padrão em \mathbb{R}^4 entre (x,y,z,w) e (x',y',z',w') é
\langle (x,y,z,w), (x',y',z',w')\rangle = xx' + yy' + zz' + ww'.
Um vetor u está em W^{\perp} quando \langle u, v\rangle = 0 para todo v\in W.

Passo 6

Use a parametrização de W: vetores de W são v=(a,a,b,b) com a,b\in\mathbb{R}. Impor \langle u,v\rangle=0 para todo a,b dá:
\langle (x,y,z,w),(a,a,b,b)\rangle = x a + y a + z b + w b = a(x+y)+b(z+w)=0
para todo a,b\in\mathbb{R}.
Para que isso ocorra para todo a e todo b independentemente, os coeficientes devem ser zero:
x+y=0,\qquad z+w=0.
Ou seja, u satisfaz y=-x e w=-z. Assim todo vetor de W^{\perp} tem a forma
(x,-x,z,-z)=x\,(1,-1,0,0)+z\,(0,0,1,-1).
Portanto uma geração natural de W^{\perp} é pelos vetores
u_1=(1,-1,0,0),\qquad u_2=(0,0,1,-1).

Passo 7

Mostro que \{u_1,u_2\} é uma base de W^{\perp}:
  1. Geram W^{\perp}: já escrevi um vetor genérico de W^{\perp} como combinação linear de u_1 e u_2, então geram.
  2. Linearmente independentes: suponha d_1 u_1 + d_2 u_2 = (0,0,0,0). Então
(d_1, -d_1, d_2, -d_2)=(0,0,0,0),
o que implica d_1=0 e d_2=0. Logo são independentes.
Dessa forma \{u_1,u_2\} é base de W^{\perp} e a dimensão de W^{\perp} é 2.

Passo 8

Observação útil para a prova (motivadora): aqui apareceu a conta óbvia de que \dim W + \dim W^{\perp} = 2+2=4=\dim\mathbb{R}^4, o que faz sentido geral: em espaços euclidianos finito-dimensionais isso sempre acontece quando W é subespaço. Além disso percebe-se que W\cap W^{\perp}=\{0\}, então \mathbb{R}^4=W\oplus W^{\perp} (soma direta). Saber essas relações ajuda a checar se seu resultado faz sentido.

Resposta

(a) Base de W: \{(1,1,0,0),\;(0,0,1,1)\}. Dimensão de W: 2.
(b) Base de W^{\perp}: \{(1,-1,0,0),\;(0,0,1,-1)\}. Dimensão de W^{\perp}: 2.

Exercícios relacionados