(Valor 2.0 pts ) Seja
e
.
(a) Encontre uma base e dimensão de
.
(b) Encontre uma base e dimensão de
.
(a) Encontre uma base e dimensão de
(b) Encontre uma base e dimensão de
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
As perguntas são:
(a) Encontrar uma base de e a dimensão de
.
(b) Encontrar uma base de e a dimensão de
.
(a) Encontrar uma base de
(b) Encontrar uma base de
Informações relevantes que já temos do enunciado:
Não há figura nem tabela; tudo o que precisamos vem dessas igualdades.
Passo 2
Primeiro vamos descrever
de forma mais prática, escrevendo um vetor genérico que satisfaça as condições
e
.
Sejam
e
números reais tais que
e
. Então um vetor genérico de
tem a forma
Isso é uma parametrização de
em termos dos parâmetros
e
. Vou agora reescrever essa forma como combinação linear de vetores fixos (isso já dá um candidato natural para base):
Explicação rápida do que fiz: escolhi
e
como parâmetros independentes e escrevi o vetor como soma de
vezes um vetor mais
vezes outro vetor. Se isso for verdade para todo vetor de
, então esses dois vetores geram
.
Passo 3
Agora vou provar que os vetores
geram
e são linearmente independentes, logo formam uma base.
-
Geram
: já mostrei que qualquer vetor de é . Portanto . -
Linearmente independentes: suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Isso implica
e
. Portanto os vetores são linearmente independentes.
Como temos dois vetores linearmente independentes que geram
, eles formam uma base de
e a dimensão de
é
.
Passo 4
Resumo parcial (útil para a prova): qualquer vetor de
pode ser escrito unicamente como
. Na prova, para mostrar que um conjunto é base, normalmente faço duas coisas: (i) mostro que gera o subespaço (parametrização); (ii) mostro que é linearmente independente (resolver a combinação linear nula). Esse padrão é prático e rápido em provas.
Passo 5
Agora vamos encontrar
. Pelo significado de complemento ortogonal, um vetor
pertence a
se e só se for ortogonal a todo vetor de
, isto é, o produto interno padrão (produto escalar) deve ser zero para todo vetor em
.
Lembrete sobre produto escalar (mini-aula): o produto escalar padrão em
entre
e
é
Um vetor
está em
quando
para todo
.
Passo 6
Use a parametrização de
: vetores de
são
com
. Impor
para todo
dá:
para todo
.
Para que isso ocorra para todo
e todo
independentemente, os coeficientes devem ser zero:
Ou seja,
satisfaz
e
. Assim todo vetor de
tem a forma
Portanto uma geração natural de
é pelos vetores
Passo 7
Mostro que
é uma base de
:
-
Geram
: já escrevi um vetor genérico de como combinação linear de e , então geram. -
Linearmente independentes: suponha
. Então
o que implica
e
. Logo são independentes.
Dessa forma
é base de
e a dimensão de
é
.
Passo 8
Observação útil para a prova (motivadora): aqui apareceu a conta óbvia de que
, o que faz sentido geral: em espaços euclidianos finito-dimensionais isso sempre acontece quando
é subespaço. Além disso percebe-se que
, então
(soma direta). Saber essas relações ajuda a checar se seu resultado faz sentido.
Resposta
(a) Base de
:
. Dimensão de
:
.
(b) Base de
:
. Dimensão de
:
.