(Valor: 1,5 pts) Os dados abaixo são os da adsorção química do hidrogênio sobre o cobre em pó a 25^{\circ} \mathrm{C}. Estime a constante de equilíbrio da adsorção ( K ) e o volume adsorvido correspondente ao recobrimento completo ( V_{\infty} ) supondose que esta adsorção se ajusta a uma isoterma de Langmuir.
\mathrm{P}(\mathrm{Pa}) 25 129 253 540 1000 1593
\mathrm{~V}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right) 0,042 0,163 0,221 0,321 0,411 0,471

Passo 1

Neste exercício temos dados experimentais de pressão P e volume adsorvido V para a adsorção de hidrogênio sobre cobre, à 25^\circ\mathrm{C}. O objetivo é estimar a constante de equilíbrio K e o volume de recobrimento completo V_\infty, supondo que a isoterma siga o modelo de Langmuir.

Passo 2

A isoterma de Langmuir é
V = V_\infty \,\frac{K\,P}{1 + K\,P}
que pode ser linearizada isolando P/V. Dividindo ambos os lados por V e reorganizando, obtemos
\frac{P}{V} \;=\;\frac{1}{V_\infty}\,P \;+\;\frac{1}{K\,V_\infty}.
Em um gráfico de P/V versus P, o coeficiente angular é 1/V_\infty e o coeficiente linear é 1/(K\,V_\infty).

Passo 3

Calculamos \frac{P_i}{V_i} para cada ponto experimental e os somatórios para regressão linear:
\begin{array}{c|c|c} P_i\;(\mathrm{Pa}) & V_i\;(\mathrm{cm}^3) & P_i/V_i\;(\mathrm{Pa/cm}^3) \\\ \hline 25 & 0,042 & 595,238 \\\\ 129 & 0,163 & 791,409 \\\\ 253 & 0,221 & 1145,25 \\\\ 540 & 0,321 & 1682,24 \\\\ 1000 & 0,411 & 2433,78 \\\\ 1593 & 0,471 & 3381,32 \end{array}
Os somatórios são \sum P_i = 3540, \sum P_i^2 = 3\,910\,524, \sum (P_i/V_i) = 10029,237, \sum P_i(P_i/V_i) = 9135353,32.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da regressão linear em y = a + b\,x, com x=P_i e y=P_i/V_i:
b = \frac{n\sum P_i(P_i/V_i) \;-\;\sum P_i\sum(P_i/V_i)} {n\sum P_i^2 - (\sum P_i)^2}, \quad a = \frac{\sum(P_i/V_i) - b\,\sum P_i}{n},
onde n=6. Substituindo os valores:
b \approx \frac{6\cdot 9135353{,}32 - 3540\cdot 10029{,}237} {6\cdot 3910524 - 3540^2} \approx 1{,}7666, \quad a \approx \frac{10029{,}237 - 1{,}7666\cdot 3540}{6} \approx 629{,}25.

Passo 5

Como b = 1/V_\infty, temos
V_\infty = \frac{1}{b} \approx 0{,}566\;\mathrm{cm}^3.
Como a = 1/(K\,V_\infty), segue
K = \frac{1}{a\,V_\infty} \approx \frac{1}{629{,}25\cdot 0{,}566} \approx 2{,}81\times 10^{-3}\;\mathrm{Pa}^{-1}.

Resposta

K \approx 2{,}8\times10^{-3}\,\mathrm{Pa}^{-1} V_\infty \approx 0{,}566\,\mathrm{cm}^3

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