(Valor da questão: 20 pontos) Uma esfera de iodo, de 1 cm de diâmetro, é colocada em um ar quiescente mantido a 40^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} pressão de 747 mmHg . Nessa temperatura a pressão de vapor do iodo é de cerca de 1,03 \mathrm{mmHg}. Desejamos determinar a difusividade do sistema iodo-ar por medidas da taxa de sublimação. Para ajudar a determinar as condições experimentais exequíveis, com base no balanço de massa, deduza a expressão para o perfil de concentração e fluxo molar da esfera de iodo em questão. Estime a taxa de sublimação. Supor r_{2} muito grande.

Passo 1

O enunciado trata da sublimação de uma esfera de iodo (diâmetro 1,cm, raio R=0,005,m) em ar quiescente a 40^\circC e pressão total 747,mmHg. A pressão de vapor de iodo é p_{sat}=1,03,mmHg. Desejamos, em regime estacionário e assumindo r_2\to\infty, deduzir o perfil de concentração do vapor de iodo c_A(r) no ar, o fluxo molar j_A(r) e estimar numericamente a taxa de sublimação usando a lei de Fick.

Passo 2

Em regime estacionário não há geração volumétrica, logo a conservação de massa em coordenadas esféricas dá
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\bigl(r^2\,j_A(r)\bigr)=0
e, pela 1ª lei de Fick,
j_A(r)=-D\,\frac{dc_A}{dr}.
Como D é constante, substituindo em cima resulta
\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^2\frac{dc_A}{dr}\Bigr)=0.

Passo 3

Integramos uma vez:
r^2\frac{dc_A}{dr}=C_1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dc_A}{dr}=\frac{C_1}{r^2}.
Integramos de novo:
c_A(r)=\int\frac{C_1}{r^2}\,dr=-\frac{C_1}{r}+C_2.
Aplicando as condições de contorno \displaystyle c_A(r\to\infty)=0\implies C_2=0
e \displaystyle c_A(R)=c_s\implies -\frac{C_1}{R}=c_s\implies C_1=-c_s\,R,
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\boxed{c_A(r)=c_s\,\frac{R}{r}.}

Passo 4

O fluxo molar radial é
j_A(r)=-D\frac{dc_A}{dr} =-D\frac{d}{dr}\Bigl(c_s\,\frac{R}{r}\Bigr) =D\,c_s\,\frac{R}{r^2}.
No contorno da esfera r=R:
\boxed{j_A(R)=\frac{D\,c_s}{R}.}

Passo 5

A taxa total de sublimação (mol/s) é j_A(R) vezes a área da esfera 4\pi R^2:
\dot N_A =4\pi R^2\,j_A(R) =4\pi R^2\frac{D\,c_s}{R} =4\pi R\,D\,c_s.

Passo 6

Estimativa numérica:
R=0,005,m
p_{sat}=1,03,mmHg =1,03\times133,322\approx137,3,Pa
T=40^\circ\mathrm{C}=313{,}15,K
c_s=\dfrac{p_{sat}}{R_uT} =\dfrac{137{,}3}{8{,}314\cdot313{,}15}\approx0{,}0527,mol/ m^{3}
– adotando D\approx1{,}0\times10^{-5}, m^{2}/s
\dot N_A =4\pi(0,005)(1{,}0\times10^{-5})(0{,}0527) \approx3{,}3\times10^{-8}\\ \mathrm{mol/s}.
Em massa ( M_{I_2}=254,g/mol):
\dot m =3{,}3\times10^{-8}\times254 \approx8{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{g/s} \approx0{,}03\\ \mathrm{g/h}.

Resposta

Perfil de concentração:
c_A(r)=c_s\,\frac{R}{r}.
Fluxo molar local:
j_A(r)=D\,c_s\,\frac{R}{r^2}, \quad j_A(R)=\frac{D\,c_s}{R}.
Taxa total de sublimação:
\dot N_A=4\pi R\,D\,c_s\approx3{,}3\times10^{-8}\\ \mathrm{mol/s} \quad(\approx8{,}4\times10^{-6}\,\mathrm{g/s}).

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