(Valor da questão: \mathbf{1 0} pontos/item) Considere o sistema de dois balões (volume de \mathbf{1 0 0} \mathrm{cm}^{3} cada) unidos por um capilar de 15 cm . Inicialmente, um dos balões contém hidrogênio (A) e o outro oxigênio (B). O sistema é isobárico ( P=1 atm) e isotérmico ( \mathrm{T}=327{ }^{\circ} \mathrm{C} ).
a. Calcule o coeficiente de difusão \mathrm{D}_{\mathrm{AB}};
b. Calcule os fluxos mássicos e molares de A e B no instante em que o capilar é aberto;
c. Calcule a velocidade média mássica e a velocidade média molar da mistura.

Passo 1

O enunciado descreve dois balões de volume 100\:\mathrm{cm^3} cada, unidos por um capilar de comprimento L=15\:\mathrm{cm}. Num instante inicial, um balão (lado A) contém hidrogênio puro e o outro (lado B) oxigênio puro. A temperatura é \;T=327^\circ\mathrm{C}=600\:\mathrm{K} e a pressão \;P=1\:\mathrm{atm}.
Conteúdo: difusão molecular descrita pela Lei de Fick em regime isobárico e isotérmico. Precisaremos de um valor de referência para o coeficiente de difusão D_{AB}, calcular o gradiente de concentração inicial, daí obter os fluxos molares e mássicos e finalmente as velocidades médias.

Passo 2

Para D_{AB} no par \mathrm{H_2} \mathrm{O_2} usamos a dependência empírica
D_{AB}(T,P)=D_{AB,0}\,\biggl(\frac{T}{T_0}\biggr)^{3/2}\frac{P_0}{P}
com referência típica D_{AB,0}=0{,}64\:\mathrm{cm^2/s} a T_0=300\:\mathrm{K}, P_0=1\:\mathrm{atm}.
Logo, a 600\:\mathrm{K} e 1\:\mathrm{atm}:
D_{AB}=0{,}64\;\biggl(\frac{600}{300}\biggr)^{3/2} =0{,}64\cdot2^{1,5} =0{,}64\cdot2{,}828 \approx1{,}81\:\mathrm{cm^2/s} =1{,}81\times10^{-4}\:\mathrm{m^2/s}.

Passo 3

No instante inicial, a concentração molar total é
C_\text{tot}=\frac{P}{R\,T} =\frac{1{,}013\times10^5}{8{,}314\cdot600} \approx20{,}3\:\mathrm{mol/m^3}.
Como o balão A é puro A e o B é puro B, o gradiente de concentração de A no capilar vale
\frac{\Delta C_A}{L} =\frac{C_{\!A,A}-C_{\!A,B}}{L} =\frac{20{,}3-0}{0{,}15} \approx135{,}3\:\mathrm{mol/m^4}.
Pela Lei de Fick unidimensional, o fluxo molar de A (positivo de A→B) é
j_A=-D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx} =D_{AB}\,\frac{\Delta C_A}{L} =1{,}81\times10^{-4}\times135{,}3 \approx2{,}45\times10^{-2}\:\mathrm{mol/(m^2\,s)}.
Para o componente B, num sistema binário puro sem convecção inicial,
j_B=-\,j_A \approx-2{,}45\times10^{-2}\:\mathrm{mol/(m^2\,s)}.

Passo 4

Convertendo em fluxos mássicos:
massa molar M_A=2\times10^{-3}\:\mathrm{kg/mol}, M_B=32\times10^{-3}\:\mathrm{kg/mol}.
\dot m_A =j_A\,M_A =2{,}45\times10^{-2}\times2\times10^{-3} \approx4{,}90\times10^{-5}\:\mathrm{kg/(m^2\,s)},
\dot m_B =j_B\,M_B =-2{,}45\times10^{-2}\times32\times10^{-3} \approx-7{,}84\times10^{-4}\:\mathrm{kg/(m^2\,s)}.

Passo 5

A velocidade média mássica define-se como o fluxo mássico total dividido pela densidade da mistura \rho. Tomando composição média inicial 50–50 em mol (aproximação), M_\text{mix}\approx(2+32)/2=17\:\mathrm{g/mol}=0{,}017\:\mathrm{kg/mol},
\rho =\frac{P\,M_\text{mix}}{R\,T} =\frac{1{,}013\times10^5\cdot0{,}017}{8{,}314\cdot600} \approx0{,}345\:\mathrm{kg/m^3}.
O fluxo mássico total é \dot m_A+\dot m_B\approx4{,}90\times10^{-5}-7{,}84\times10^{-4}=-7{,}35\times10^{-4}\:\mathrm{kg/(m^2\,s)}.
Então a velocidade média mássica é
u_\text{massa} =\frac{\dot m_A+\dot m_B}{\rho} \approx\frac{-7{,}35\times10^{-4}}{0{,}345} \approx-2{,}13\times10^{-3}\:\mathrm{m/s}.
A velocidade média molar usa o fluxo total molar (j_A+j_B)=0, logo
u_\text{molar} =\frac{j_A+j_B}{C_\text{tot}} =0.

Resposta

a) D_{AB}\approx1{,}81\times10^{-4}\:\mathrm{m^2/s}.
b) Fluxos molares j_A\approx+2{,}45\times10^{-2}\:\mathrm{mol/(m^2\,s)}, j_B\approx-2{,}45\times10^{-2}\:\mathrm{mol/(m^2\,s)}.
Fluxos mássicos \dot m_A\approx4{,}90\times10^{-5}\:\mathrm{kg/(m^2\,s)}, \dot m_B\approx-7{,}84\times10^{-4}\:\mathrm{kg/(m^2\,s)}.
c) Velocidade média mássica u_\text{massa}\approx-2{,}1\times10^{-3}\:\mathrm{m/s}; velocidade média molar u_\text{molar}=0.

Exercícios relacionados