(Valor da questão: \mathbf{3 0} pontos) Em um processo de fabricação de um semicondutor, lâminas de silício sólido de 1 mm de espessura são dopadas com átomos de fósforo presentes numa fase gasosa. O processo de dopagem ocorre por difusão dos atómos de fósforo através do silício sólido. A concentração de átomos de fósforo na superfície da lâmina é mantida constante e igual a 7,5 \times 10^{20} átomos \mathrm{cm}^{-3}. A Tabela abaixo apresenta valores de concentração de fósforo para diferentes tempos e profundidades. Determine o coeficiente de difusão do fósforo no silício.
z(\mu \mathrm{~m}) t (h) \mathrm{C}_{\mathrm{A}} (átomos \mathrm{cm}^{-3} )
0,5 5 2,9 \times 10^{20}
0,5 10 4,1 \times 10^{20}
1,0 5 6,3 \times 10^{19}
1,0 10 1,7 \times 10^{20}
1,5 5 7,2 \times 10^{18}
1,5 10 5,0 \times 10^{19}

Passo 1

O enunciado trata de difusão unidimensional num semiespaço de silício com superfície mantida à concentração constante \,C_s=7{,}5\times10^{20} átomos/c m^{3}. Temos medidas de concentração C_A a diferentes profundidades z e tempos t. O objetivo é determinar o coeficiente de difusão D do fósforo no silício usando a solução de “fonte infinita” (concentração de superfície constante) da equação de difusão.

Passo 2

Para difusão numa barra semi-infinita com superfície a x=0 mantida na concentração \,C_s, a solução é
C(x,t) \;=\; C_s \,\mathrm{erfc}\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr).
Logo, dividindo ambos os lados por C_s, definimos
u \;=\;\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}, \quad\text{onde}\quad \mathrm{erfc}(u)=\frac{C(x,t)}{C_s}.

Passo 3

Isolando D, temos
u \;=\;\mathrm{erfc}^{-1}\!\Bigl(\tfrac{C}{C_s}\Bigr), \quad 2\sqrt{D\,t} \;=\;\frac{x}{u}, \quad D \;=\;\frac{x^2}{4\,u^2\,t}.

Passo 4

Convertendo unidades: \,z em cm é z(\mu\text{m})\times10^{-4},
e t em segundos é t(\text{h})\times3600.
Para cada tripla (z,t,C) calculamos
  1. C/C_s,
  2. u=\mathrm{erfc}^{-1}(C/C_s) usando tabela ou software,
  3. D=z^2/(4u^2t).

Passo 5

Fazendo isso para os seis pontos, obtém-se valores muito próximos de
D\approx(9{,}0\text{ a }9{,}6)\times10^{-14}\,\text{cm}^2/\text{s}.
Média aritmética:
D\approx9{,}3\times10^{-14}\,\text{cm}^2/\text{s}.

Resposta

D \approx 9,3\times10^{-14}\;\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

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