Uma empresa obtém um empréstimo de
100.000,00
12 %
8 %$, então qual a taxa de juros real desta operação?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a taxa de juros real anual da operação. Informações dadas:
- Valor do empréstimo:
(apenas contextual; não precisamos do principal para achar a taxa). - Taxa de juros nominal anual:
. - Inflação anual:
.
O que se pede: determinar a taxa de juros real anual correspondente a essa operação.
Passo 2
Primeiro vamos entender o que é cada coisa, de forma bem prática e sem mistério.
- Taxa nominal (
): é a taxa anunciada pelo contrato, aqui ao ano. Se você deve e a taxa nominal fosse aplicada por um ano, você pagaria depois de um ano. - Inflação (
): é o aumento geral dos preços, aqui ao ano. Quando há inflação, o dinheiro perde poder de compra: daqui a um ano compra menos coisas do que hoje. - Taxa real (
): é a taxa que mede o ganho (ou custo) efetivo em termos de poder de compra, ou seja, já descontada a inflação. É a taxa que mostra quanto o credor realmente ganhou em termos de bens e serviços.
Intuição simples: se a dívida cresce por causa dos juros, mas os preços também sobem, temos que ajustar o montante pago para o novo nível de preços para saber quanto isso representa em poder de compra.
Passo 3
Vamos traduzir essa intuição em contas usando um exemplo numérico concreto (que dá a mesma resposta para qualquer principal).
Suponha que você tomou . Após um ano, aplicando a taxa nominal
, o montante devido será
Suponha que você tomou
Isso é o quanto será pago em termos nominais.
Passo 4
Agora ajustamos esse montante pela inflação para ver quanto ele vale em poder de compra do momento inicial. Se os preços subiram
, uma unidade monetária no futuro vale
da unidade de hoje. Assim o valor real (em poder de compra de hoje) do que será pago é
Logo, em termos reais, o credor recebeu o equivalente a
hoje, quando emprestou
. O acréscimo real em valor é
.
Passo 5
Agora formalizamos com a fórmula que relaciona as três taxas (essa fórmula é a forma exata da relação entre nominal, real e inflação):
Aqui:
-
é a taxa nominal (em decimal, ex.: ), -
é a taxa real (o que queremos), -
é a inflação (em decimal, ex.: ).
Essa equação vem exatamente da ideia dos passos anteriores: o fator nominalé igual ao produto do fator real pelo fator de aumento de preços .
Passo 6
Isolamos
na fórmula:
Substituindo
e
:
Calculando:
logo
Como porcentagem:
Passo 7
Pequena observação útil para prova: há uma aproximação muito utilizada quando as taxas não são grandes,
que aqui daria
(ou
). Essa é uma aproximação razoável, mas a resposta exata é
, ligeiramente menor por causa do efeito multiplicativo da inflação no denominador.