Uma empresa obtém um empréstimo de R \ 100.000,00 a uma taxa de juros nominal de12 % ao ano. Se a inflação anual é deçãé8 %$, então qual a taxa de juros real desta operação?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a taxa de juros real anual da operação. Informações dadas:
  • Valor do empréstimo: R\$\,100.000,00 (apenas contextual; não precisamos do principal para achar a taxa).
  • Taxa de juros nominal anual: 12\%.
  • Inflação anual: 8\%.
    O que se pede: determinar a taxa de juros real anual correspondente a essa operação.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que é cada coisa, de forma bem prática e sem mistério.
  • Taxa nominal ( i): é a taxa anunciada pelo contrato, aqui 12\% ao ano. Se você deve R\$100.000,00 e a taxa nominal fosse aplicada por um ano, você pagaria 100.000(1+i) depois de um ano.
  • Inflação ( \pi): é o aumento geral dos preços, aqui 8\% ao ano. Quando há inflação, o dinheiro perde poder de compra: R\$1,00 daqui a um ano compra menos coisas do que hoje.
  • Taxa real ( r): é a taxa que mede o ganho (ou custo) efetivo em termos de poder de compra, ou seja, já descontada a inflação. É a taxa que mostra quanto o credor realmente ganhou em termos de bens e serviços.
Intuição simples: se a dívida cresce por causa dos juros, mas os preços também sobem, temos que ajustar o montante pago para o novo nível de preços para saber quanto isso representa em poder de compra.

Passo 3

Vamos traduzir essa intuição em contas usando um exemplo numérico concreto (que dá a mesma resposta para qualquer principal).
Suponha que você tomou R\$\,100.000,00. Após um ano, aplicando a taxa nominal i=12\%, o montante devido será
100.000\cdot(1+0,12)=100.000\cdot1,12=112.000.
Isso é o quanto será pago em termos nominais.

Passo 4

Agora ajustamos esse montante pela inflação para ver quanto ele vale em poder de compra do momento inicial. Se os preços subiram 8\%, uma unidade monetária no futuro vale 1/(1+0,08)=1/1,08 da unidade de hoje. Assim o valor real (em poder de compra de hoje) do que será pago é
\frac{112.000}{1,08}=103.703{,}7037\ldots
Logo, em termos reais, o credor recebeu o equivalente a R\$\,103.703{,}7037 hoje, quando emprestou R\$\,100.000,00. O acréscimo real em valor é 103.703{,}7037-100.000=3.703{,}7037.

Passo 5

Agora formalizamos com a fórmula que relaciona as três taxas (essa fórmula é a forma exata da relação entre nominal, real e inflação):
1+i=(1+r)(1+\pi).
Aqui:
  • i é a taxa nominal (em decimal, ex.: 0,12),
  • r é a taxa real (o que queremos),
  • \pi é a inflação (em decimal, ex.: 0,08).
    Essa equação vem exatamente da ideia dos passos anteriores: o fator nominal 1+i é igual ao produto do fator real 1+r pelo fator de aumento de preços 1+\pi.

Passo 6

Isolamos r na fórmula:
r=\frac{1+i}{1+\pi}-1.
Substituindo i=0,12 e \pi=0,08:
r=\frac{1,12}{1,08}-1.
Calculando:
\frac{1,12}{1,08}=\frac{112}{108}=\frac{28}{27}=1+\frac{1}{27},
logo
r=\frac{1}{27}\approx0,037037\ldots
Como porcentagem:
r\approx3{,}7037\%\\ \text{ao ano}.

Passo 7

Pequena observação útil para prova: há uma aproximação muito utilizada quando as taxas não são grandes,
r\approx i-\pi,
que aqui daria 0{,}12-0{,}08=0{,}04 (ou 4\%). Essa é uma aproximação razoável, mas a resposta exata é 3{,}7037\%, ligeiramente menor por causa do efeito multiplicativo da inflação no denominador.

Resposta

3{,}7037\%\\ \text{ao ano}

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