(valor 3.0) Responder com verdadeiro ou falso (V/F) as afirmativas abaixo:
a) Toda curva g(x, y)=0 no plano x y pode ser estendida a um cilindro no espaço R^3 :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que estamos resolvendo pede para dizer se é verdadeiro ou falso que "Toda curva no plano pode ser estendida a um cilindro no espaço ". Vamos usar conceitos de geometria analítica para entender isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva no plano . Basicamente, é um conjunto de pontos que satisfazem a equação . Por exemplo, um círculo ou uma parábola são curvas no plano .

Passo 3

Agora, o que significa estender essa curva a um cilindro no espaço ? Um cilindro pode ser pensado como a “revolução” ou “translação” dessa curva ao longo de uma direção perpendicular ao plano. Isso cria uma superfície tridimensional.

Passo 4

Para fazer essa extensão, pegamos cada ponto da curva e movemos esse ponto ao longo de uma direção fixa, digamos, o eixo . A equação resultante do cilindro seria , independentemente do valor de . Isso significa que para qualquer , a equação ainda descreve a mesma curva no plano .

Passo 5

Com isso, qualquer curva no plano pode realmente ser “empurrada” para o espaço formando um cilindro, porque estamos apenas adicionando uma dimensão extra sem alterar a forma da curva original.

Resposta

Verdadeiro (V).

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