(valor 3.0) Responder com verdadeiro ou falso (V/F) as afirmativas abaixo:
f) Para
diferenciável em
e
, sempre vale que
:
f) Para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmativa fala sobre derivadas direcionais e gradiente. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre como calcular a derivada de uma função em uma direção qualquer. Para resolver, vamos precisar saber o que é derivada direcional e como o gradiente está relacionado com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é uma medida de como a função muda à medida que nos movemos a partir de
na direção de
.
Passo 3
A fórmula da derivada direcional é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
no ponto
, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
O que isso significa? O gradiente
aponta na direção de maior aumento de
e sua magnitude indica a taxa de aumento nessa direção. Ao fazer o produto escalar com o vetor unitário
, estamos projetando o gradiente na direção de
, o que nos dá a taxa de variação de
nessa direção específica.
Passo 5
A afirmativa diz que, para qualquer vetor
, sempre vale a igualdade entre a derivada direcional e o produto escalar mencionado. Como vimos na fórmula, essa igualdade é exatamente a definição da derivada direcional quando
é diferenciável no ponto considerado.
Resposta
Verdadeiro (V).