(valor 3.0) Responder com verdadeiro ou falso (V/F) as afirmativas abaixo:
f) Para f diferenciável em (a, b) e u neq 0, sempre vale que partial fpartial u(a, b)=nabla f(a, b) cdot u|u| :

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmativa fala sobre derivadas direcionais e gradiente. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre como calcular a derivada de uma função em uma direção qualquer. Para resolver, vamos precisar saber o que é derivada direcional e como o gradiente está relacionado com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é uma medida de como a função muda à medida que nos movemos a partir de na direção de .

Passo 3

A fórmula da derivada direcional é dada por:
partial fpartial u(a, b) = nabla f(a, b) cdot u|u|
Aqui, é o gradiente de no ponto , e é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

O que isso significa? O gradiente aponta na direção de maior aumento de e sua magnitude indica a taxa de aumento nessa direção. Ao fazer o produto escalar com o vetor unitário , estamos projetando o gradiente na direção de , o que nos dá a taxa de variação de nessa direção específica.

Passo 5

A afirmativa diz que, para qualquer vetor , sempre vale a igualdade entre a derivada direcional e o produto escalar mencionado. Como vimos na fórmula, essa igualdade é exatamente a definição da derivada direcional quando é diferenciável no ponto considerado.

Resposta

Verdadeiro (V).

Exercícios relacionados