Seja f(t)=sen t i+cos t j+2 k e h(t)=1 / t. Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que envolve calcular limites de funções vetoriais e escalares. A função vetorial é f(t) = sin t , i + cos t , j + 2 , k e a função escalar é h(t) = 1t. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são limites em funções vetoriais e escalares, e como aplicá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um limite. O limite de uma função, quando t se aproxima de um valor específico, nos diz o comportamento dessa função perto desse ponto. No caso de funções escalares, como h(t), é mais direto. Já para funções vetoriais, analisamos o limite de cada componente separadamente.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite da função escalar h(t) = 1t quando t se aproxima de um valor específico. Geralmente, os valores interessantes são t to 0 e t to infty. Vamos calcular ambos.
a) Limite de h(t) quando t to 0
Quando t se aproxima de 0, o denominador da fração 1t está se tornando muito pequeno, o que faz com que o valor da função cresça sem limite. Portanto:
limt to 0 1t = infty
b) Limite de h(t) quando t to infty
Quando t cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito, a fração 1t se aproxima de 0:
limt to infty 1t = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função vetorial f(t) = sin t , i + cos t , j + 2 , k. Para funções vetoriais, calculamos o limite de cada componente separadamente.
a) Limite de sin t quando t to infty
A função sin t oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de t. Portanto, não existe um limite definido quando t tende ao infinito.
limt to infty sin t não existe ã
b) Limite de cos t quando t to infty
Assim como o seno, o cosseno também oscila entre -1 e 1, então:
limt to infty cos t não existe ã
c) Limite de 2 quando t to infty
Essa é uma constante, então o limite é ela mesma:
limt to infty 2 = 2
Como dois dos componentes não possuem limites definidos, concluímos que o limite da função vetorial f(t) quando t to infty não existe.

Resposta

  • O limite de h(t) quando t to 0 é infinito.
  • O limite de h(t) quando t to infty é 0.
  • O limite da função vetorial f(t) quando t to infty não existe.

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