Seja
e
. Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que envolve calcular limites de funções vetoriais e escalares. A função vetorial é
e a função escalar é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são limites em funções vetoriais e escalares, e como aplicá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um limite. O limite de uma função, quando
se aproxima de um valor específico, nos diz o comportamento dessa função perto desse ponto. No caso de funções escalares, como
, é mais direto. Já para funções vetoriais, analisamos o limite de cada componente separadamente.
Passo 3
Vamos começar calculando o limite da função escalar
quando
se aproxima de um valor específico. Geralmente, os valores interessantes são
e
. Vamos calcular ambos.
a) Limite de
quando
Quando
se aproxima de 0, o denominador da fração
está se tornando muito pequeno, o que faz com que o valor da função cresça sem limite. Portanto:
b) Limite de
quando
Quando
cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito, a fração
se aproxima de 0:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função vetorial
. Para funções vetoriais, calculamos o limite de cada componente separadamente.
a) Limite de
quando
A função
oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Portanto, não existe um limite definido quando
tende ao infinito.
b) Limite de
quando
Assim como o seno, o cosseno também oscila entre -1 e 1, então:
c) Limite de
quando
Essa é uma constante, então o limite é ela mesma:
Como dois dos componentes não possuem limites definidos, concluímos que o limite da função vetorial
quando
não existe.
Resposta
- O limite de
quando é infinito. - O limite de
quando é 0. - O limite da função vetorial
quando não existe.