(valor 2,0 ) Seja f(x, y)=x y+y uma função de duas variáveis. Calcule seus valores máximo e mínimo no primeiro quadrante, sobre o arco da circunferência centrada na origem e com raio unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y) = xy + y, e precisa encontrar os valores máximo e mínimo dela no primeiro quadrante, ou seja, onde x e y são positivos. Além disso, temos a restrição de que (x, y) está sobre o arco de uma circunferência com raio 1 centrada na origem, que é dada pela equação x^2 + y^2 = 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições e derivadas.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com uma restrição (a circunferência), vamos expressar uma das variáveis em função da outra. A equação da circunferência é x^2 + y^2 = 1, então podemos isolar y:
y = raiz1 - x^2
Isso vai nos ajudar a substituir y na função f(x, y) e deixar tudo em termos de uma única variável, o que facilita encontrar os valores máximos e mínimos.

Passo 3

Agora, vamos substituir y na função f(x, y):
f(x) = x cdot raiz1 - x^2 + raiz1 - x^2
Podemos fatorar raiz1 - x^2:
f(x) = raiz1 - x^2 cdot (x + 1)
Assim, a função f(x) está agora em termos de x apenas, e podemos trabalhar com ela para encontrar os pontos onde ela atinge seus extremos.

Passo 4

Para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x), precisamos achar onde a derivada da função em relação a x é igual a zero. Ou seja, vamos calcular f'(x) e resolver f'(x) = 0.
Primeiro, vamos derivar f(x):
f(x) = (x + 1) cdot (1 - x^2)^1/2
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, a derivada fica:
f'(x) = ddx[(x + 1)] cdot (1 - x^2)^1/2 + (x + 1) cdot ddx[(1 - x^2)^1/2]
Calculando cada parte:
ddx(x + 1) = 1
ddx(1 - x^2)^1/2 = 12(1 - x^2)^-1/2 cdot (-2x) = -x(1 - x^2)^1/2
Então,
f'(x) = (1) cdot (1 - x^2)^1/2 + (x + 1) cdot (-x(1 - x^2)^1/2)
Simplificando:
f'(x) = (1 - x^2) - x(x + 1)(1 - x^2)^1/2
f'(x) = 1 - x^2 - x^2 - x(1 - x^2)^1/2 = 1 - 2x^2 - x(1 - x^2)^1/2

Passo 5

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
1 - 2x^2 - x(1 - x^2)^1/2 = 0
O denominador (1 - x^2)^1/2 nunca é zero no intervalo considerado (já que x está no primeiro quadrante e x^2 < 1), então podemos focar no numerador:
1 - 2x^2 - x = 0
Resolvendo essa equação quadrática para x:
2x^2 + x - 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 2, b = 1, c = -1.
x = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34
Então, as soluções são:
x = 24 = 0,5 e x = -44 = -1
Como estamos no primeiro quadrante, descartamos x = -1. Portanto, x = 0,5 é o ponto crítico.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor correspondente de y usando a equação da circunferência:
y = raiz1 - x^2 = raiz1 - (0,5)^2 = raiz1 - 0,25 = raiz0,75 approx 0,866

Passo 7

Vamos calcular o valor de f(x, y) nesse ponto crítico:
f(0,5, 0,866) = 0,5 cdot 0,866 + 0,866 = 0,433 + 0,866 = 1,299
Além disso, precisamos verificar os extremos do intervalo no primeiro quadrante. Quando x = 0, y = 1:
f(0, 1) = 0 cdot 1 + 1 = 1
E quando y = 0, x = 1:
f(1, 0) = 1 cdot 0 + 0 = 0

Resposta

No primeiro quadrante, sobre o arco da circunferência de raio 1, a função f(x, y) = xy + y atinge o valor máximo de aproximadamente 1,299 no ponto (0,5, 0,866) e o valor mínimo de 0 no ponto (1, 0).

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