(valor 2,0 ) Seja
uma função de duas variáveis. Calcule seus valores máximo e mínimo no primeiro quadrante, sobre o arco da circunferência centrada na origem e com raio unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisa encontrar os valores máximo e mínimo dela no primeiro quadrante, ou seja, onde
e
são positivos. Além disso, temos a restrição de que
está sobre o arco de uma circunferência com raio 1 centrada na origem, que é dada pela equação
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições e derivadas.
Passo 2
Primeiro, como estamos lidando com uma restrição (a circunferência), vamos expressar uma das variáveis em função da outra. A equação da circunferência é
, então podemos isolar
:
Isso vai nos ajudar a substituir
na função
e deixar tudo em termos de uma única variável, o que facilita encontrar os valores máximos e mínimos.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na função
:
Podemos fatorar
:
Assim, a função
está agora em termos de
apenas, e podemos trabalhar com ela para encontrar os pontos onde ela atinge seus extremos.
Passo 4
Para encontrar os valores máximo e mínimo de
, precisamos achar onde a derivada da função em relação a
é igual a zero. Ou seja, vamos calcular
e resolver
.
Primeiro, vamos derivar
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, a derivada fica:
Calculando cada parte:
Então,
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
O denominador
nunca é zero no intervalo considerado (já que
está no primeiro quadrante e
), então podemos focar no numerador:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
,
.
Então, as soluções são:
Como estamos no primeiro quadrante, descartamos
. Portanto,
é o ponto crítico.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor correspondente de
usando a equação da circunferência:
Passo 7
Vamos calcular o valor de
nesse ponto crítico:
Além disso, precisamos verificar os extremos do intervalo no primeiro quadrante. Quando
,
:
E quando
,
:
Resposta
No primeiro quadrante, sobre o arco da circunferência de raio 1, a função
atinge o valor máximo de aproximadamente 1,299 no ponto
e o valor mínimo de 0 no ponto
.