(Valor: 2,5) Seja gamma o triângulo de vértices (0,0,1),(2,0,1) e (1,1,1), percorrido no sentido horário.
O valor da integral acima mudaria caso o sentido da curva fosse percorrer o triângulo no sentido anti-horário? Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, vamos resumir a questão! Temos um triângulo chamado γ com vértices nas coordenadas (0,0,1), (2,0,1) e (1,1,1). Esse triângulo está sendo percorrido no sentido horário. A pergunta é: se a gente percorrer esse triângulo no sentido anti-horário, o valor da integral muda? Vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores ao longo de uma curva. Dependendo do campo vetorial pelo qual estamos integrando e do sentido em que percorremos a curva, o resultado pode mudar.

Passo 3

Um ponto importante é a orientação da curva. Quando você percorre uma curva em um sentido (horário) e depois no sentido oposto (anti-horário), isso afeta o sinal da integral de linha. Isso acontece porque a direção do percurso está diretamente ligada à direção dos vetores no campo.

Passo 4

Para ser mais específico, se a integral de linha no sentido horário for, por exemplo, I, então no sentido anti-horário será -I. Isso ocorre porque inverter a orientação da curva inverte a direção do percurso, e consequentemente, o sentido dos vetores integrados.

Passo 5

Isso está relacionado com a propriedade de anti-simetria das integrais de linha. Ou seja, ointgamma F cdot dr = -oint-gamma F cdot dr, onde -gamma representa a curva percorrida no sentido oposto.

Resposta

Sim, o valor da integral muda de sinal quando o triângulo é percorrido no sentido anti-horário. Isso acontece porque inverter a orientação da curva inverte o sinal da integral de linha.

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