(Valor: 2,5) Seja
o triângulo de vértices
e
, percorrido no sentido horário.
O valor da integral acima mudaria caso o sentido da curva fosse percorrer o triângulo no sentido anti-horário? Justifique sua resposta.
O valor da integral acima mudaria caso o sentido da curva fosse percorrer o triângulo no sentido anti-horário? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, vamos resumir a questão! Temos um triângulo chamado γ com vértices nas coordenadas
,
e
. Esse triângulo está sendo percorrido no sentido horário. A pergunta é: se a gente percorrer esse triângulo no sentido anti-horário, o valor da integral muda? Vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores ao longo de uma curva. Dependendo do campo vetorial pelo qual estamos integrando e do sentido em que percorremos a curva, o resultado pode mudar.
Passo 3
Um ponto importante é a orientação da curva. Quando você percorre uma curva em um sentido (horário) e depois no sentido oposto (anti-horário), isso afeta o sinal da integral de linha. Isso acontece porque a direção do percurso está diretamente ligada à direção dos vetores no campo.
Passo 4
Para ser mais específico, se a integral de linha no sentido horário for, por exemplo,
, então no sentido anti-horário será
. Isso ocorre porque inverter a orientação da curva inverte a direção do percurso, e consequentemente, o sentido dos vetores integrados.
Passo 5
Isso está relacionado com a propriedade de anti-simetria das integrais de linha. Ou seja,
, onde
representa a curva percorrida no sentido oposto.
Resposta
Sim, o valor da integral muda de sinal quando o triângulo é percorrido no sentido anti-horário. Isso acontece porque inverter a orientação da curva inverte o sinal da integral de linha.