(Valor: 2,5) Seja f:[a, b] R uma função real de uma variável, definida no intervalo limitado e fechado [a, b] dada por y=f(x). O gráfico de f determina uma curva no plano. Determine uma parametrização dessa curva. Demonstre, usando a aplicação de comprimento de curvas, a fórmula do comprimento dessa curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função real , definida no intervalo fechado , e pede para determinarmos uma parametrização da curva que o gráfico dessa função representa. Além disso, precisamos demonstrar a fórmula para o comprimento dessa curva utilizando o conceito de comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização de uma curva e como calcular o comprimento de uma curva no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre parametrização. Parametrizar uma curva significa expressar as coordenadas e em função de um terceiro parâmetro, geralmente , que varia em um certo intervalo. No caso de uma função , onde varia de a , podemos usar como parâmetro.

Passo 3

Então, para a nossa função x = t y = f(t) , uma parametrização simples da curva é:
onde varia de a . Aqui, é o parâmetro que representa o valor de , e é dado pela função .

Passo 4

Agora, vamos para o comprimento da curva. O comprimento de uma curva parametrizada pode ser calculado usando a fórmula:
L = integralt1^t2 raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt
Nesse caso, nossos limites de integração são e .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas dxdt = ddt(t) = 1 e dydt = ddt(f(t)) = f'(t) :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento da curva, temos:
L = integrala^b raiz1 + ( f'(t) )^2 , dt

Passo 7

Portanto, a fórmula para o comprimento da curva L = integrala^b raiz1 + ( f'(x) )^2 , dx no intervalo é:

Resposta

A parametrização da curva é:
x = t y = f(t)
onde L = integrala^b raiz1 + ( f'(x) )^2 , dx varia de a .
E a fórmula para o comprimento dessa curva é:

Exercícios relacionados