(Valor: 2,5) Seja
uma função real de uma variável, definida no intervalo limitado e fechado
dada por
. O gráfico de
determina uma curva no plano. Determine uma parametrização dessa curva. Demonstre, usando a aplicação de comprimento de curvas, a fórmula do comprimento dessa curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função real
, definida no intervalo fechado
, e pede para determinarmos uma parametrização da curva que o gráfico dessa função representa. Além disso, precisamos demonstrar a fórmula para o comprimento dessa curva utilizando o conceito de comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização de uma curva e como calcular o comprimento de uma curva no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre parametrização. Parametrizar uma curva significa expressar as coordenadas
e
em função de um terceiro parâmetro, geralmente
, que varia em um certo intervalo. No caso de uma função
, onde
varia de
a
, podemos usar
como parâmetro.
Passo 3
Então, para a nossa função
, uma parametrização simples da curva é:
onde
varia de
a
. Aqui,
é o parâmetro que representa o valor de
, e
é dado pela função
.
Passo 4
Agora, vamos para o comprimento da curva. O comprimento de uma curva parametrizada pode ser calculado usando a fórmula:
Nesse caso, nossos limites de integração são
e
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas
e
:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento da curva, temos:
Passo 7
Portanto, a fórmula para o comprimento da curva
no intervalo
é:
Resposta
A parametrização da curva é:
onde
varia de
a
.
E a fórmula para o comprimento dessa curva é: