1. Dê o valor de a para que o sistema \left\{\begin{array}{l}a x+y+2=0 \\\\ 2 x-y+z-a=0 \\\\ 4 x+y+a z+5=0\end{array}\right. seja impossível.

Passo 1

O enunciado pede: "Dê o valor de a\) para que o sistema \[\begin{cases} a x + y + 2 = 0 \\[4pt] 2 x - y + z - a = 0 \\[4pt] 4 x + y + a z + 5 = 0 \end{cases}
seja impossível."
Informações dadas que vou usar (escrevo cada equação na forma padrão com os termos constantes do outro lado):
\begin{cases} a x + y + 0\cdot z = -2, \\[4pt] 2 x - y + 1\cdot z = a, \\[4pt] 4 x + y + a\cdot z = -5. \end{cases}
As incógnitas são x,y,z\] e o parâmetro é \(a. Quero os valores de a que tornam o sistema impossível (inconsistente).]

Passo 2

Plano de solução (explico por que estou fazendo cada passo):
  • Primeiro vou montar a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\[4pt] 2 & -1 & 1 \\[4pt] 4 & 1 & a \end{pmatrix}
e o vetor associado de termos constantes
\mathbf{b}=\begin{pmatrix} -2 \\[4pt] a \\[4pt] -5 \end{pmatrix}.
  • Se \det(A)\neq 0, o sistema tem solução única (logo não é impossível). Então apenas precisamos considerar os valores de a que tornam \det(A)=0.
  • Para cada a com \det(A)=0 vou verificar a consistência do sistema fazendo eliminação por linhas na matriz aumentada (A|\mathbf{b}). Se aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq 0, teremos inconsistência (impossível).
    Obs.: isso usa a ideia de posto (rank): sistema é impossível quando o posto da matriz dos coeficientes é menor que o posto da matriz aumentada.]

Passo 3

Calculo do determinante de A. Vou expandir pela primeira linha:
\det(A)=a\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & a\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & a\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & a\end{pmatrix}=(-1)\cdot a - 1\cdot 1 = -a-1,
\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & a\end{pmatrix}=2\cdot a - 1\cdot 4 = 2a-4.
Substituindo:
\det(A)=a(-a-1) - (2a-4) = -a^2 - a - 2a + 4 = -a^2 -3a +4.
Posso fatorar tirando o sinal:
\det(A)=-(a^2+3a-4).
Resolvo a^2+3a-4=0 para achar quando \det(A)=0:
a^2+3a-4=0 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{-3\pm5}{2}.
Logo as raízes são
a=1\quad\text{e}\quad a=-4.]

Passo 4

Interpretação imediata: para todo a diferente de 1 e de -4 temos \det(A)\neq 0, portanto o sistema tem solução única (não é impossível). Restam só os casos a=1 e a=-4 — nesses casos a matriz é singular e pode ocorrer ou infinitas soluções ou inconsistência. Vou verificar cada caso com eliminação na matriz aumentada.

Passo 5

Caso a=1. A matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & -2 \\[4pt] 2 & -1 & 1 & 1 \\[4pt] 4 & 1 & 1 & -5 \end{array}\right).
Faço operações elementares para escalonar:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2: \\ [2-2\cdot1,\\\ -1-2\cdot1,\\\ 1-2\cdot0,\\\ 1-2(-2)] = [0,\\\ -3,\\\ 1,\\\ 5].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1:
R_3: \\ [4-4\cdot1,\\\ 1-4\cdot1,\\\ 1-4\cdot0,\\\ -5-4(-2)] = [0,\\\ -3,\\\ 1,\\\ 3].
Agora a matriz está
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & -2 \\[4pt] 0 & -3 & 1 & 5 \\[4pt] 0 & -3 & 1 & 3 \end{array}\right).
Subtraio R_3 de R_2: R_2 \leftarrow R_2 - R_3
R_2: \\ [0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 2].
Isso corresponde à equação 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z = 2, isto é 0=2, que é impossível. Portanto para a=1 o sistema é inconsistente (impossível).]

Passo 6

Caso a=-4. A matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|c} -4 & 1 & 0 & -2 \\[4pt] 2 & -1 & 1 & -4 \\[4pt] 4 & 1 & -4 & -5 \end{array}\right).
Faço eliminação:
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_1 (anulo primeiro elemento de R_2):
R_2: \\ [2+\tfrac{1}{2}(-4),\\\ -1+\tfrac{1}{2}\cdot1,\\\ 1+\tfrac{1}{2}\cdot0,\\\ -4+\tfrac{1}{2}(-2)] = [0,\\\ -\tfrac{1}{2},\\\ 1,\\\ -5].
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_1 (anulo primeiro elemento de R_3):
R_3: \\ [4+(-4),\\\ 1+1,\\\ -4+0,\\\ -5+(-2)] = [0,\\\ 2,\\\ -4,\\\ -7].
Agora temos
\left(\begin{array}{ccc|c} -4 & 1 & 0 & -2 \\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & 1 & -5 \\[4pt] 0 & 2 & -4 & -7 \end{array}\right).
Multiplico R_2 por -2 para eliminar frações: R_2 \leftarrow -2R_2 resulta
R_2: \\ [0,\\\ 1,\\\ -2,\\\ 10].
Agora R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2:
R_3: \\ [0,\\\ 2-2\cdot1,\\\ -4-2(-2),\\\ -7-2\cdot10] = [0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ -27].
Isso gera a linha 0\\\ 0\\\ 0 \mid -27, ou seja 0=-27, contraditório. Portanto para a=-4 o sistema também é impossível.]

Passo 7

Conclusão: os únicos valores de a que tornam o sistema impossível são exatamente os dois que anulam o determinante e, em ambos os casos, a eliminação mostrou inconsistência (linha 0= \text{não-zero}ã). Para todo outro a o sistema tem solução (única).

Resposta

a=1 ou a=-4

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