Dê o valor de a para que o sistema \left\{\begin{array}{l}a x+y+2=0 \\\\ 2 x-y+z-a=0 \\\\ 4 x+y+a z+5=0\end{array}\right. seja impossível.
Passo 1
O enunciado pede: "Dê o valor de a\) para que o sistema
\[\begin{cases} a x + y + 2 = 0 \\[4pt] 2 x - y + z - a = 0 \\[4pt] 4 x + y + a z + 5 = 0 \end{cases}
seja impossível."
Informações dadas que vou usar (escrevo cada equação na forma padrão com os termos constantes do outro lado):
\begin{cases} a x + y + 0\cdot z = -2, \\[4pt] 2 x - y + 1\cdot z = a, \\[4pt] 4 x + y + a\cdot z = -5. \end{cases}
As incógnitas são x,y,z\] e o parâmetro é \(a. Quero os valores de a que tornam o sistema impossível (inconsistente).]
Passo 2
Plano de solução (explico por que estou fazendo cada passo):
Primeiro vou montar a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\[4pt] 2 & -1 & 1 \\[4pt] 4 & 1 & a \end{pmatrix}
e o vetor associado de termos constantes
\mathbf{b}=\begin{pmatrix} -2 \\[4pt] a \\[4pt] -5 \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq 0, o sistema tem solução única (logo não é impossível). Então apenas precisamos considerar os valores de a que tornam \det(A)=0.
Para cada a com \det(A)=0 vou verificar a consistência do sistema fazendo eliminação por linhas na matriz aumentada (A|\mathbf{b}). Se aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq 0, teremos inconsistência (impossível).
Obs.: isso usa a ideia de posto (rank): sistema é impossível quando o posto da matriz dos coeficientes é menor que o posto da matriz aumentada.]
Passo 3
Calculo do determinante de A. Vou expandir pela primeira linha:
Interpretação imediata: para todo a diferente de 1 e de -4 temos \det(A)\neq 0, portanto o sistema tem solução única (não é impossível). Restam só os casos a=1 e a=-4 — nesses casos a matriz é singular e pode ocorrer ou infinitas soluções ou inconsistência. Vou verificar cada caso com eliminação na matriz aumentada.
Isso gera a linha 0\\\ 0\\\ 0 \mid -27, ou seja 0=-27, contraditório. Portanto para a=-4 o sistema também é impossível.]
Passo 7
Conclusão: os únicos valores de a que tornam o sistema impossível são exatamente os dois que anulam o determinante e, em ambos os casos, a eliminação mostrou inconsistência (linha 0= \text{não-zero}ã). Para todo outro a o sistema tem solução (única).