Resolva as equações matriciais:
а) \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 1 & -3\end{array}\right) \cdot\binom{x}{y}=\binom{9}{-13}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação matricial
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}\cdot\binom{x}{y}=\binom{9}{-13}.
Informações dadas:
\text{Matriz }A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix},\qquad \text{vetor desconhecido } \binom{x}{y},\qquad \text{vetor à direita } \binom{9}{-13}.à
O que se pede: encontrar os valores de x e y que satisfazem a equação matricial.]

Passo 2

Escrevemos a multiplicação matriz-vetor como um sistema linear de duas equações (porque a primeira linha da matriz dá a primeira equação e a segunda linha dá a segunda). Multiplicando, obtemos:
\begin{cases} 2x + 1y = 9,\\[4pt] 1x + (-3)y = -13. \end{cases}
Ou, de forma mais simples,
\begin{cases} 2x + y = 9,\\[4pt] x - 3y = -13. \end{cases}]

Passo 3

Vamos resolver esse sistema por eliminação (método básico e direto para sistemas 2×2). A técnica é combinar as equações com multiplicações e subtrações para eliminar uma variável e achar a outra. É permitido multiplicar uma equação por um número e somar/subtrair com outra equação.
Organizamos o sistema como matriz aumentada (colocando o lado direito como terceira coluna):
\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 9\\[4pt] 1 & -3 & -13 \end{array}\right).]

Passo 4

Queremos eliminar x (a primeira coluna) na segunda linha. Uma maneira com números inteiros é calcular 2 vezes a segunda linha e subtrair a primeira linha:
2\cdot(\text{linha 2}) - (\text{linha 1}).
Compute cada entrada: para a primeira coluna 2\cdot 1 - 2 = 0; para a segunda coluna 2\cdot(-3) - 1 = -6 - 1 = -7; para o lado direito 2\cdot(-13) - 9 = -26 - 9 = -35. Assim a segunda linha transformada fica (0,\,-7,\,-35). A matriz aumentada vira
\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 9\\[4pt] 0 & -7 & -35 \end{array}\right).]

Passo 5

A segunda linha agora corresponde à equação
-7y = -35.
Dividindo ambos os lados por -7 (operação válida porque -7\neq 0), obtemos
y = \frac{-35}{-7} = 5.

Passo 6

Com y=5, substituímos numa das equações originais para encontrar x. Usando a primeira equação 2x + y = 9:
2x + 5 = 9.
Subtraindo 5 de ambos os lados:
2x = 4.
Dividindo por 2:
x = 2.

Passo 7

Vamos conferir substituindo (x,y)=(2,5) na equação matricial original. Calculamos
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}\cdot\binom{2}{5} = \binom{2\cdot 2 + 1\cdot 5}{1\cdot 2 + (-3)\cdot 5} = \binom{4+5}{2-15} = \binom{9}{-13},
que coincide com o lado direito dado. Portanto a solução está correta.]

Resposta

x=2,\; y=5

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