Qual o valor de
tg(5 π / 4)
? (a) -1
(b) 0
(c) 1
(d) Não é definido.

Passo 1

O enunciado pede o valor de \tan\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) e oferece as alternativas:
(a) -1
(b) 0
(c) 1
(d) Não é definido.
Vou trabalhar com as informações dadas e calcular \tan\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right).

Passo 2

Lembrete rápido (fórmula que vou usar): a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno:
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Isto significa que, para calcular \tan\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right), preciso dos valores de \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) e \cos\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right).

Passo 3

Explicando referência e círculo trigonométrico de forma simples: o ângulo \dfrac{\pi}{4} (ou 45^\circ) tem coordenadas no círculo unitário
\left(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right),\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Esses valores vêm da construção conhecida do triângulo isósceles de catetos iguais; não precisa decorar além de saber que os dois são \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Agora considere o ângulo \dfrac{5\pi}{4}. Esse ângulo é \pi a mais que \dfrac{\pi}{4}:
\frac{5\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+\pi.
Adicionar \pi ao ângulo desloca o ponto diametralmente no círculo unitário, o que troca os sinais de seno e cosseno. Portanto
\cos\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},
\sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Agora aplico a definição de tangente como razão:
\tan\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)}{\cos\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}.
Ao dividir, os sinais e o fator \dfrac{\sqrt{2}}{2} cancelam, restando
\tan\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=1.

Passo 6

Observação alternativa (útil na prova): a tangente tem período \pi, pois
\tan(\theta+\pi)=\frac{\sin(\theta+\pi)}{\cos(\theta+\pi)}=\frac{-\sin\theta}{-\cos\theta}=\tan\theta.
Assim \tan\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1, confirmação rápida.

Resposta

(c) 1

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