(Valor 2,0 ) Seja R a região do plano x y limitada pelas curvas y=e^{x} e y=x e pelas reta x=0 e x=1. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R do plano limitada por
y = e^{x},\quad y = x,\quad x=0,\quad x=1.
O conteúdo usado será o método dos discos (ou anéis): para uma rotação em torno do eixo x,
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl[R_{\text{externo}}(x)^2 - R_{\text{interno}}(x)^2\bigr]\,dx.

Passo 2

Precisamos saber qual curva é a borda superior de R. Para 0\le x\le1 temos
e^{x} \ge x
pois em x=0 vale 1\ge0 e em x=1 vale e\approx2{,}718>1, e e^{x} é convexa. Logo, o raio externo é
R_{\text{externo}}(x)=e^{x}
e o raio interno é
R_{\text{interno}}(x)=x.

Passo 3

Aplicando a fórmula do método dos discos, com a=0 e b=1, obtemos
V = \pi \int_{0}^{1} \bigl[(e^{x})^{2} - (x)^{2}\bigr]\,dx = \pi \int_{0}^{1} \bigl(e^{2x} - x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculemos separadamente as duas integrais:
\int_{0}^{1} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\bigl[e^{2x}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(e^{2} - 1\bigr),
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Substituindo em V
V = \pi\Bigl(\frac{1}{2}(e^{2}-1) - \frac{1}{3}\Bigr).

Passo 5

Colocando em um único quociente:
V = \pi\Bigl(\frac{e^{2}-1}{2} - \frac{1}{3}\Bigr) = \pi\,\frac{3(e^{2}-1)-2}{6} = \frac{\pi}{6}\bigl(3e^{2} - 5\bigr).

Resposta

V = \frac{\pi}{6}\bigl(3e^{2} - 5\bigr).

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