(valor: 3,0) Calcule os limites abaixo. (Dica: somente um limite existe)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \ln \left(\frac{y-x}{y+x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \ln\!\left(\frac{y-x}{y+x}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve o logaritmo natural de uma razão \dfrac{y-x}{y+x}.
  • Para que a função esteja definida (no sentido real) precisamos que \dfrac{y-x}{y+x}>0 e y\pm x\neq 0.
  • O ponto de interesse é (0,0); a ideia é estudar o comportamento da função quando (x,y) aproxima-se de (0,0) por diferentes caminhos. A dica do enunciado indica que somente um dos limites possíveis (entre vários) existe — isso sugere investigar dependência do caminho.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): em limites de duas variáveis, o limite em (0,0) existe (e vale L) somente se, ao aproximarmos (x,y) por qualquer sequência ou caminho que tenda a (0,0) e que permaneça no domínio da função, os valores da função tendem sempre ao mesmo L. Uma forma prática de testar existência é:
  • calcular o limite ao longo de retas y=mx (ou outros caminhos simples);
  • se obtivermos resultados diferentes para diferentes caminhos (ou um caminho dá valor finito e outro dá -\infty ou não existe), então o limite geral não existe.
    Agora vamos aplicar isso.

Passo 3

Estudo ao longo das retas y=mx (com m constante). Substituindo y=mx na razão temos (para x\neq 0 e m\neq -1):
\frac{y-x}{y+x}=\frac{mx-x}{mx+x}=\frac{x(m-1)}{x(m+1)}=\frac{m-1}{m+1}.
Observações úteis:
  • A expressão final \dfrac{m-1}{m+1} é independente de x; ao aproximar x\to 0 (i.e., (x,y)\to(0,0) pela reta), a razão tende simplesmente a esse número constante.
  • Para que a função \ln esteja definida ao longo dessa reta precisamos que \dfrac{m-1}{m+1}>0, ou seja, m>1 ou m<-1. Se -1<m<1 a razão é negativa e o logaritmo não é definido em reais ao longo dessa reta.

Passo 4

Cálculo dos limites ao longo de algumas retas com m>1 (exemplos concretos para ver dependência de m):
  • Se m=2, então
\frac{m-1}{m+1}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3},
logo ao aproximar pela reta y=2x obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=2x}\ln\!\left(\frac{y-x}{y+x}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{3}\right).
  • Se m=3, então
\frac{m-1}{m+1}=\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},
logo aproximando pela reta y=3x obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=3x}\ln\!\left(\frac{y-x}{y+x}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right).
Como \ln\!\left(\frac{1}{3}\right)\neq \ln\!\left(\frac{1}{2}\right), os limites ao longo de duas retas diferentes (ambas válidas no domínio) são distintos. Isso já é forte evidência de que o limite total não existe.

Passo 5

Para reforçar (e mostrar que nem mesmo um limite estendido coincide), construiro um caminho que leva o argumento do logaritmo a 0^+, fazendo com que o logaritmo tenda a -\infty. Considere o caminho
y=x+x^2 \quad\text{com}\quad x>0,\\ x\to 0^+.
Calcule a razão:
y-x=(x+x^2)-x=x^2,\qquad y+x=(x+x^2)+x=2x+x^2.
Para x>0 pequeno,
\frac{y-x}{y+x}=\frac{x^2}{2x+x^2}=\frac{x}{2+x}\xrightarrow[x\to0^+]{}0^+.
Portanto ao longo desse caminho temos
\ln\!\left(\frac{y-x}{y+x}\right)\xrightarrow[x\to0^+]{}-\infty.
Assim existe um caminho que leva o valor da função a -\infty, enquanto outros caminhos levam a diferentes valores finitos (veja \ln(1/3) e \ln(1/2) acima). Logo não há um único limite (nem finito nem \pm\infty) consistente para todos os caminhos.

Passo 6

Conclusão lógica e didática: para que o limite em (0,0) existisse, todos os caminhos admissíveis teriam que produzir o mesmo limite. Mostramos três tipos de comportamentos possíveis ao escolher caminhos:
  • para retas y=mx com m>1 obtivemos limites finitos que dependem de m (por exemplo \ln(1/3) e \ln(1/2));
  • existe um caminho que leva a -\infty;
  • para -1<m<1 a função nem está definida em real ao longo da reta (razão negativa).
    Portanto os valores-limite dependem do caminho e não existe um único número (ou único infinito) que seja o limite. Conclusão: o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados