A expressão envolve o logaritmo natural de uma razão \dfrac{y-x}{y+x}.
Para que a função esteja definida (no sentido real) precisamos que \dfrac{y-x}{y+x}>0 e y\pm x\neq 0.
O ponto de interesse é (0,0); a ideia é estudar o comportamento da função quando (x,y) aproxima-se de (0,0) por diferentes caminhos. A dica do enunciado indica que somente um dos limites possíveis (entre vários) existe — isso sugere investigar dependência do caminho.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): em limites de duas variáveis, o limite em (0,0) existe (e vale L) somente se, ao aproximarmos (x,y) por qualquer sequência ou caminho que tenda a (0,0) e que permaneça no domínio da função, os valores da função tendem sempre ao mesmo L. Uma forma prática de testar existência é:
calcular o limite ao longo de retas y=mx (ou outros caminhos simples);
se obtivermos resultados diferentes para diferentes caminhos (ou um caminho dá valor finito e outro dá -\infty ou não existe), então o limite geral não existe.
Agora vamos aplicar isso.
Passo 3
Estudo ao longo das retas y=mx (com m constante). Substituindo y=mx na razão temos (para x\neq 0 e m\neq -1):
A expressão final \dfrac{m-1}{m+1} é independente de x; ao aproximar x\to 0 (i.e., (x,y)\to(0,0) pela reta), a razão tende simplesmente a esse número constante.
Para que a função \ln esteja definida ao longo dessa reta precisamos que \dfrac{m-1}{m+1}>0, ou seja, m>1 ou m<-1. Se -1<m<1 a razão é negativa e o logaritmo não é definido em reais ao longo dessa reta.
Passo 4
Cálculo dos limites ao longo de algumas retas com m>1 (exemplos concretos para ver dependência de m):
Como \ln\!\left(\frac{1}{3}\right)\neq \ln\!\left(\frac{1}{2}\right), os limites ao longo de duas retas diferentes (ambas válidas no domínio) são distintos. Isso já é forte evidência de que o limite total não existe.
Passo 5
Para reforçar (e mostrar que nem mesmo um limite estendido coincide), construiro um caminho que leva o argumento do logaritmo a 0^+, fazendo com que o logaritmo tenda a -\infty. Considere o caminho
Assim existe um caminho que leva o valor da função a -\infty, enquanto outros caminhos levam a diferentes valores finitos (veja \ln(1/3) e \ln(1/2) acima). Logo não há um único limite (nem finito nem \pm\infty) consistente para todos os caminhos.
Passo 6
Conclusão lógica e didática: para que o limite em (0,0) existisse, todos os caminhos admissíveis teriam que produzir o mesmo limite. Mostramos três tipos de comportamentos possíveis ao escolher caminhos:
para retas y=mx com m>1 obtivemos limites finitos que dependem de m (por exemplo \ln(1/3) e \ln(1/2));
existe um caminho que leva a -\infty;
para -1<m<1 a função nem está definida em real ao longo da reta (razão negativa).
Portanto os valores-limite dependem do caminho e não existe um único número (ou único infinito) que seja o limite. Conclusão: o limite não existe.