Valor: 3,0 - Verifique se as transformações abaixo são ou não lineares:
, onde
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
A pergunta é: essa transformação é linear ou não?
Passo 2
O que significa “ser linear” — lembrete prático e direto:
- Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , valem as duas propriedades
e
- Uma consequência imediata (muito útil na prova!) é que todo operador linear envia o vetor nulo no domínio para o vetor nulo no contradomínio:
Se você encontrar
, já pode concluir que
não é linear — é um teste rápido e infalível.
Passo 3
Aplicando esse teste rápido à transformação dada. Calcule
. Usando a definição:
Observe que
.
Passo 4
Interprete o resultado: como um operador linear deve enviar o vetor nulo para o vetor nulo, o fato de
ser
já prova que
não satisfaz as propriedades de linearidade. Não é necessário checar as duas propriedades formais depois disso — uma violação basta.
Passo 5
Um comentário didático para fixar a ideia: a presença da componente constante
(independente de
) é o culpado. Transformações do tipo
com
são chamadas de afins (ou afinas) — elas não são lineares, porque deslocam o zero. Se o problema tivesse sido
, aí sim seria linear (poderia ser representada por uma matriz
).
Resposta
Não é linear.