Valor: 3,0 - Verifique se as transformações abaixo são ou não lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, onde T(x, y, z)=(x-y, 2 z, 4)

Passo 1

O enunciado dá a transformação T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(x-y,\;2z,\;4).
A pergunta é: essa transformação é linear ou não?

Passo 2

O que significa “ser linear” — lembrete prático e direto:
  • Uma transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
  • Uma consequência imediata (muito útil na prova!) é que todo operador linear envia o vetor nulo no domínio para o vetor nulo no contradomínio:
T(0,0,0)=(0,0,0).
Se você encontrar T(0,0,0)\neq(0,0,0), já pode concluir que T não é linear — é um teste rápido e infalível.

Passo 3

Aplicando esse teste rápido à transformação dada. Calcule T(0,0,0). Usando a definição:
T(0,0,0)=(0-0,\;2\cdot 0,\;4)=(0,\;0,\;4).
Observe que T(0,0,0)=(0,0,4)\neq(0,0,0).

Passo 4

Interprete o resultado: como um operador linear deve enviar o vetor nulo para o vetor nulo, o fato de T(0,0,0) ser (0,0,4) já prova que T não satisfaz as propriedades de linearidade. Não é necessário checar as duas propriedades formais depois disso — uma violação basta.

Passo 5

Um comentário didático para fixar a ideia: a presença da componente constante 4 (independente de x,y,z) é o culpado. Transformações do tipo
T(x,y,z) = A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} + b
com b\neq 0 são chamadas de afins (ou afinas) — elas não são lineares, porque deslocam o zero. Se o problema tivesse sido T(x,y,z)=(x-y,\;2z,\;0), aí sim seria linear (poderia ser representada por uma matriz 3\times3).

Resposta

Não é linear.

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