Valor: 3,0 - Verifique se as transformações abaixo são ou não lineares:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, onde T(x, y)=(0, x+y)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(0,\;x+y).
A pergunta é: verificar se essa transformação é ou não linear (ou seja, decidir se T satisfaz as propriedades que caracterizam uma transformação linear).

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada passo a passo). Uma transformação T é linear se, para todo u,v\in\mathbb{R}^{2} e para todo escalar c\in\mathbb{R}, valem duas propriedades:
\text{(aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui:
  • u e v são vetores quaisquer de \mathbb{R}^{2}; normalmente escrevemos u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2).
  • c é um número real qualquer.
    Se as duas propriedades forem verdadeiras para todos u,v,c, então T é linear. Vou checar as duas propriedades explicitamente para a T dada.

Passo 3

Verificação da aditividade. Tome u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Agora aplique T a u+v:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(0,\;(x_1+x_2)+(y_1+y_2)).
Reescrevendo a segunda componente:
(0,\;(x_1+x_2)+(y_1+y_2))=(0,\;(x_1+y_1)+(x_2+y_2)).
Agora calcule T(u) e T(v) separadamente:
T(u)=T(x_1,y_1)=(0,\;x_1+y_1),
T(v)=T(x_2,y_2)=(0,\;x_2+y_2).
Somando T(u)+T(v):
T(u)+T(v)=(0,\;x_1+y_1)+(0,\;x_2+y_2)=(0+0,\;(x_1+y_1)+(x_2+y_2))=(0,\;(x_1+y_1)+(x_2+y_2)).
Comparando com T(u+v) vemos que as duas expressões coincidem. Portanto a aditividade está satisfeita:
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{para todos }u,v\in\mathbb{R}^2.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Tome um vetor u=(x,y) arbitrário e um escalar c\in\mathbb{R}. Primeiro calcule c\,u:
c\,u=(c x,\;c y).
Aplique T a c\,u:
T(c\,u)=T(c x,\;c y)=(0,\;c x + c y).
Factorizando c na segunda componente:
(0,\;c x + c y)=(0,\;c(x+y)).
Agora calcule c\,T(u). Primeiro T(u)=(0,\;x+y), então
c\,T(u)=c\cdot(0,\;x+y)=(c\cdot 0,\;c(x+y))=(0,\;c(x+y)).
As duas expressões coincidem, logo a homogeneidade também vale:
T(c\,u)=c\,T(u)\quad\text{para todo }u\in\mathbb{R}^2,\;c\in\mathbb{R}.

Passo 5

Sintetizando: como T satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade para todos os vetores e escalares, concluímos que T é linear.
Uma observação útil (não obrigatória, mas que ajuda a ver a linearidade de forma concreta): toda transformação linear de \mathbb{R}^2 pode ser escrita como multiplicação por uma matriz 2\times2. Para a T dada, a matriz que representa T em bases canônicas é
A=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
porque
A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt] x+y\end{pmatrix},
que é exatamente T(x,y). A existência dessa matriz também confirma (e dá uma forma prática de calcular) que T é linear.]

Resposta

T é linear.

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