Valor: 3,0 - Verifique se as transformações abaixo são ou não lineares:
, onde
Passo 1
O enunciado dá uma transformação
definida por
A pergunta é: verificar se essa transformação é ou não linear (ou seja, decidir se
satisfaz as propriedades que caracterizam uma transformação linear).
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada passo a passo). Uma transformação
é linear se, para todo
e para todo escalar
, valem duas propriedades:
Aqui:
-
e são vetores quaisquer de ; normalmente escrevemos e . -
é um número real qualquer.
Se as duas propriedades forem verdadeiras para todos, então é linear. Vou checar as duas propriedades explicitamente para a dada.
Passo 3
Verificação da aditividade. Tome
e
. Primeiro calcule
:
Agora aplique
a
:
Reescrevendo a segunda componente:
Agora calcule
e
separadamente:
Somando
:
Comparando com
vemos que as duas expressões coincidem. Portanto a aditividade está satisfeita:
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Tome um vetor
arbitrário e um escalar
. Primeiro calcule
:
Aplique
a
:
Factorizando
na segunda componente:
Agora calcule
. Primeiro
, então
As duas expressões coincidem, logo a homogeneidade também vale:
Passo 5
Sintetizando: como
satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade para todos os vetores e escalares, concluímos que
é linear.
Uma observação útil (não obrigatória, mas que ajuda a ver a linearidade de forma concreta): toda transformação linear de
pode ser escrita como multiplicação por uma matriz
. Para a
dada, a matriz que representa
em bases canônicas é
porque
que é exatamente
. A existência dessa matriz também confirma (e dá uma forma prática de calcular) que
é linear.]
Resposta
T é linear.