Prove que:
Se

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para qualquer par de números reais com y ≠ 0, vale a igualdade lvert x/yrvert = lvert xrvert/lvert yrvert. Estamos no tópico de propriedades da função valor absoluto e vamos usar as regras de valor absoluto de produtos e recíprocos para chegar à conclusão.

Passo 2

Uma propriedade fundamental do valor absoluto é que, para quaisquer números reais a e b, vale lvert a brvert = lvert arvert,lvert brvert. Vamos aplicar isso ao produto de x por 1/y, já que x/y = xcdot (1/y).

Passo 3

Pela propriedade dos produtos temos: lvert x/yrvert = lvert xcdot (1/y)rvert = lvert xrvert,lvert 1/yrvert.

Passo 4

Agora usamos a regra do valor absoluto de recíprocos: para y ≠ 0, lvert 1/yrvert = 1/lvert yrvert. Substituindo na expressão anterior obtemos lvert x/yrvert = lvert xrvert,(1/lvert yrvert).

Passo 5

Basta reescrever o produto lvert xrvert,(1/lvert yrvert) como uma divisão, chegando a lvert x/yrvert = lvert xrvert/lvert yrvert, que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

lvertxyrvert = lvert xrvertlvert yrvert

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