Assuma movimento não-relativístico.
(a) Encontre a força (vetor) de Lorentz que atua nessa partícula no instante t=0.
(b) O que acontece com o módulo da velocidade da partícula ao longo do tempo? Justifique.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas:
Carga da partícula: q. Movimento não-relativístico.
Perguntas do enunciado:
(a) Encontre a força (vetor) de Lorentz que atua na partícula no instante t=0.
(b) O que acontece com o módulo da velocidade da partícula ao longo do tempo? Justifique.
Passo 2
Fórmula básica que vamos usar (apresento e explico): a força de Lorentz sobre uma partícula com carga q movendo-se com velocidade \mathbf{v} num campo magnético \mathbf{B} é
\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Aqui \mathbf{v}\times\mathbf{B} é o produto vetorial (ou produto cruzado) entre os vetores \mathbf{v} e \mathbf{B}. O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular a ambos \mathbf{v} e \mathbf{B}; seus componentes podem ser obtidos pela regra do determinante (explicito no próximo passo).
Passo 3
Escrevo explicitamente as componentes de \mathbf{v}_{0} e \mathbf{B} que usarei no cálculo:
Agora respondo (b) com justificação física e matemática. A ideia física: uma força magnética tem sempre direção perpendicular à velocidade (é proporcional a \mathbf{v}\times\mathbf{B}), então ela não realiza trabalho sobre a partícula; portanto a energia cinética (e o módulo da velocidade) não muda com o tempo.
Vou demonstrar isso matematicamente. A potência instantânea fornecida pela força é \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}. Se essa potência é zero, a energia cinética não varia:
Calculo \mathbf{F}(0)\cdot\mathbf{v}_{0} para ver que é zero (texto didático: isso vale não só no instante 0 mas em qualquer instante enquanto a força for puramente magnética):
usando \mathbf{F}(0)=q\,\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B} e a propriedade do produto escalar (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0 (produto vetorial é perpendicular a \mathbf{v}), ou diretamente substituindo componentes:
pois qualquer vetor do tipo \mathbf{v}\times\mathbf{B} é perpendicular a \mathbf{v}. Se preferir ver com números, já calculámos \mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B} e obtivemos que suas componentes x e z são proporcionais a v_{0}\cos\alpha; ao fazer o produto escalar com \mathbf{v}_{0} os termos se cancelam (como mostrado nos passos anteriores), resultando em zero.]
Passo 8
Como \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0, temos
\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}m v^{2}\right)=0,
ou seja \,v^{2} é constante no tempo. Portanto o módulo da velocidade permanece constante. Em palavras amigáveis: a força magnética só muda a direção da velocidade, não o seu tamanho. (Consequência prática: a partícula descreve movimento circular em torno da direção do campo para a componente da velocidade perpendicular a \mathbf{B}, e desloca-se livremente paralel a \mathbf{B} para a componente paralela — em conjunto isso forma uma hélice quando ambas as componentes existem.)
(b) O módulo da velocidade permanece constante no tempo: |\mathbf{v}(t)|=v_{0} (pois \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0 e não há variação da energia cinética).