Considere uma região sob a ação de um campo magnético uniforme
\mathbf{B}=B_{0}(\sin \theta \hat{\mathbf{x}}+\cos \theta \hat{\mathbf{z}}), \quad B_{0}>0 .
Uma partícula carregada, de carga q, tem velocidade no instante t=0
\mathbf{v}_{\mathbf{0}}=v_{0} \sin \alpha \sin \theta \hat{\mathbf{x}}+v_{0} \cos \alpha \hat{\mathbf{y}}+v_{0} \sin \alpha \cos \theta \hat{\mathbf{z}}, \quad v_{0}>0
Assuma movimento não-relativístico.
(a) Encontre a força (vetor) de Lorentz que atua nessa partícula no instante t=0.
(b) O que acontece com o módulo da velocidade da partícula ao longo do tempo? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Campo magnético uniforme:
\mathbf{B}=B_{0}(\sin\theta\,\hat{\mathbf{x}}+\cos\theta\,\hat{\mathbf{z}}),\qquad B_{0}>0.
  • Velocidade da partícula no instante t=0:
\mathbf{v}_{0}=v_{0}\sin\alpha\sin\theta\,\hat{\mathbf{x}}+v_{0}\cos\alpha\,\hat{\mathbf{y}}+v_{0}\sin\alpha\cos\theta\,\hat{\mathbf{z}},\qquad v_{0}>0.
  • Carga da partícula: q. Movimento não-relativístico.
Perguntas do enunciado:
(a) Encontre a força (vetor) de Lorentz que atua na partícula no instante t=0.
(b) O que acontece com o módulo da velocidade da partícula ao longo do tempo? Justifique.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (apresento e explico): a força de Lorentz sobre uma partícula com carga q movendo-se com velocidade \mathbf{v} num campo magnético \mathbf{B} é
\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Aqui \mathbf{v}\times\mathbf{B} é o produto vetorial (ou produto cruzado) entre os vetores \mathbf{v} e \mathbf{B}. O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular a ambos \mathbf{v} e \mathbf{B}; seus componentes podem ser obtidos pela regra do determinante (explicito no próximo passo).

Passo 3

Escrevo explicitamente as componentes de \mathbf{v}_{0} e \mathbf{B} que usarei no cálculo:
\begin{aligned} v_{x}&=v_{0}\sin\alpha\sin\theta,\\\ v_{y}&=v_{0}\cos\alpha,\\\ v_{z}&=v_{0}\sin\alpha\cos\theta, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} B_{x}&=B_{0}\sin\theta,\\\ B_{y}&=0,\\\ B_{z}&=B_{0}\cos\theta. \end{aligned}
É só reescrever os vetores em componentes para aplicar o produto vetorial.

Passo 4

Calculo o produto vetorial \mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B} usando a fórmula componente a componente:
\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B}= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\[4pt] v_{x} & v_{y} & v_{z}\\[4pt] B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{vmatrix}.
As componentes são, lembrando B_{y}=0:
  • Componente x:
(\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B})_{x}=v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}=v_{y}B_{z}=v_{0}\cos\alpha\;B_{0}\cos\theta.
  • Componente y:
(\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B})_{y}=v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z} = v_{0}\sin\alpha\cos\theta\;B_{0}\sin\theta - v_{0}\sin\alpha\sin\theta\;B_{0}\cos\theta =0,
pois os dois termos se cancelam.
  • Componente z:
(\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B})_{z}=v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}=-v_{y}B_{x}=-v_{0}\cos\alpha\;B_{0}\sin\theta.]

Passo 5

Agora escrevo o vetor \mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B} reunindo as componentes:
\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B}=v_{0}B_{0}\cos\alpha\big(\cos\theta\,\hat{\mathbf{x}}-\sin\theta\,\hat{\mathbf{z}}\big).
Multiplicando por q para obter a força de Lorentz no instante t=0:
\boxed{\mathbf{F}(0)=q\,\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B}=q\,v_{0}B_{0}\cos\alpha\big(\cos\theta\,\hat{\mathbf{x}}-\sin\theta\,\hat{\mathbf{z}}\big).}

Passo 6

Agora respondo (b) com justificação física e matemática. A ideia física: uma força magnética tem sempre direção perpendicular à velocidade (é proporcional a \mathbf{v}\times\mathbf{B}), então ela não realiza trabalho sobre a partícula; portanto a energia cinética (e o módulo da velocidade) não muda com o tempo.
Vou demonstrar isso matematicamente. A potência instantânea fornecida pela força é \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}. Se essa potência é zero, a energia cinética não varia:
\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}m v^{2}\right)=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.

Passo 7

Calculo \mathbf{F}(0)\cdot\mathbf{v}_{0} para ver que é zero (texto didático: isso vale não só no instante 0 mas em qualquer instante enquanto a força for puramente magnética):
usando \mathbf{F}(0)=q\,\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B} e a propriedade do produto escalar (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0 (produto vetorial é perpendicular a \mathbf{v}), ou diretamente substituindo componentes:
\begin{aligned} \mathbf{F}(0)\cdot\mathbf{v}_{0} &=q\big(\mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B}\big)\cdot\mathbf{v}_{0}\\[4pt] &=0, \end{aligned}
pois qualquer vetor do tipo \mathbf{v}\times\mathbf{B} é perpendicular a \mathbf{v}. Se preferir ver com números, já calculámos \mathbf{v}_{0}\times\mathbf{B} e obtivemos que suas componentes x e z são proporcionais a v_{0}\cos\alpha; ao fazer o produto escalar com \mathbf{v}_{0} os termos se cancelam (como mostrado nos passos anteriores), resultando em zero.]

Passo 8

Como \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0, temos
\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}m v^{2}\right)=0,
ou seja \,v^{2} é constante no tempo. Portanto o módulo da velocidade permanece constante. Em palavras amigáveis: a força magnética só muda a direção da velocidade, não o seu tamanho. (Consequência prática: a partícula descreve movimento circular em torno da direção do campo para a componente da velocidade perpendicular a \mathbf{B}, e desloca-se livremente paralel a \mathbf{B} para a componente paralela — em conjunto isso forma uma hélice quando ambas as componentes existem.)

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{F}(0)=q\,v_{0}B_{0}\cos\alpha\big(\cos\theta\,\hat{\mathbf{x}}-\sin\theta\,\hat{\mathbf{z}}\big).
(b) O módulo da velocidade permanece constante no tempo: |\mathbf{v}(t)|=v_{0} (pois \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0 e não há variação da energia cinética).

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