Ao longo do desenvolvimento realizado em aula em que se obteve a expressão para o valor esperado do momentum na representação de posição, nos deparamos com a seguinte equação:
Explique por que não faz sentido realizar a integração por partes para desenvolver o membro direito acima. Neste caso, poderíamos ser levados a crer - notando que
- que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão
e pede que eu explique por que não faz sentido aplicar integração por partes diretamente ao integrando do membro direito (isto é, por que não se pode “passar” a derivada temporal para
e usar
), evitando a conclusão errada
. Além disso, espera-se entender qual é o procedimento correto e o porquê.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de integração por partes e quando ela vale. Para funções de
a fórmula é
onde a derivada no integrando é em relação a
. Note um ponto crucial: a integração por partes envolve uma derivada em relação à mesma variável de integração (aqui
). No integral que temos, a derivada é em relação ao tempo
:
, enquanto a integração é feita sobre
. Portanto, a hipótese necessária para aplicar a fórmula acima (derivada em relação a
) não está satisfeita. Em outras palavras: não se pode “trocar” a derivada temporal por uma derivada espacial e aplicá-la a
.
Passo 3
Para ver o erro do raciocínio que leva a
, escreva a tentativa errada: tentar usar integração por partes pensando que a derivada que aparece é da forma
e então mover a derivada para
, obtendo algo como
Nesse passo a pessoa substituiria
e concluiria que o integral é zero. Isso é formalmente inválido por duas razões simples:
- a integração por partes exige
no integrando, não ; -
é o derivado de quando é tratada como função do tempo — aqui é a variável de integração, independente de . Misturar o papel da variável é a origem do erro.
Passo 4
Uma coisa que é válida e usada rotineiramente é trocar a derivada temporal com a integral espacial (regra de Leibniz para domínio fixo). Ou seja,
desde que o domínio de integração seja fixo (por exemplo
) e
seja suficientemente bem comportada (condições físicas normais: decai no infinito, etc.). Essa igualdade é correta e é a que aparece no enunciado; o problema é tentar aplicar integração por partes trocando a derivada de tempo pela de espaço.
Passo 5
Para aplicar integração por partes corretamente precisamos primeiro transformar a derivada temporal em uma derivada espacial — mas isso só é legítimo se fizermos isso por uma identidade que relaciona
com uma derivada espacial. Essa identidade existe: é a equação de continuidade da densidade de probabilidade. Vou derivá-la de forma direta (aqui é importante ver o porquê físico e matemático):
Começamos da equação de Schrödinger unidimensional e sua conjugada complexa:
Multiplicando a primeira por
e a segunda por
e subtraindo, obtém-se (após simplificações)
Definimos o fluxo de probabilidade (corrente)
por
Assim obtemos a equação de continuidade
Passo 6
Agora sim podemos usar essa equação de continuidade para trocar a derivada temporal por uma derivada espacial no integral do enunciado:
Neste integral a derivada é em relação a
, então a integração por partes (em
) é legítima. Aplicando integração por partes:
Agora usamos as condições físicas: para estados físicos normais
quando
suficientemente rápido, portanto
quando
. Isso garante que o termo de fronteira
seja zero (mais precisamente,
se
decai mais rápido que
, o que acontece para estados físicos razoáveis). Assim ficamos com
Passo 7
Falta relacionar o integral do fluxo à média do momento. Observe que o fluxo pode ser reescrito em termos do operador momento
:
Integramos
sobre
:
Mas a expectativa do momento é
e, por ser
um operador Hermitiano,
é real, logo tomar a parte real não altera. Assim
Combinando com os passos anteriores obtemos o resultado correto
Passo 8
Síntese e intuição final (pra você lembrar na prova): o erro fatal de “integrar por partes” no integral original é confundir a variável de derivação com a variável de integração. A integração por partes exige derivada em relação a
se você está integrando em
; não existe uma regra que permita mover uma derivada temporal para
e então usar
. O procedimento correto é usar a equação de continuidade para trocar
por
e aí aplicar integração por partes (em
) — e então o termo de fronteira some por causa das condições físicas, sobrando
.
Resposta
Não faz sentido aplicar integração por partes diretamente porque a fórmula de integração por partes exige uma derivada em relação à variável de integração
, enquanto no integrando está a derivada temporal
; mover
para
e usar
mistura variáveis e é inválido. O procedimento correto, usando a equação de continuidade
e condições de contorno físicas, leva a