Ao longo do desenvolvimento realizado em aula em que se obteve a expressão para o valor esperado do momentum na representação de posição, nos deparamos com a seguinte equação:
\frac{d\langle x\rangle}{d t}=\int x \frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2} d x
Explique por que não faz sentido realizar a integração por partes para desenvolver o membro direito acima. Neste caso, poderíamos ser levados a crer - notando que \partial x / \partial t=0 - que d\langle x\rangle / d t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
\frac{d\langle x\rangle}{d t}=\int x \frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx
e pede que eu explique por que não faz sentido aplicar integração por partes diretamente ao integrando do membro direito (isto é, por que não se pode “passar” a derivada temporal para x e usar \partial x/\partial t=0), evitando a conclusão errada \frac{d\langle x\rangle}{dt}=0. Além disso, espera-se entender qual é o procedimento correto e o porquê.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de integração por partes e quando ela vale. Para funções de x a fórmula é
\int_{a}^{b} u(x)\,\frac{dv(x)}{dx}\,dx = \bigl[u(x)v(x)\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v(x)\,\frac{du(x)}{dx}\,dx,
onde a derivada no integrando é em relação a x. Note um ponto crucial: a integração por partes envolve uma derivada em relação à mesma variável de integração (aqui x). No integral que temos, a derivada é em relação ao tempo t: \partial/\partial t, enquanto a integração é feita sobre x. Portanto, a hipótese necessária para aplicar a fórmula acima (derivada em relação a x) não está satisfeita. Em outras palavras: não se pode “trocar” a derivada temporal por uma derivada espacial e aplicá-la a x.

Passo 3

Para ver o erro do raciocínio que leva a \frac{d\langle x\rangle}{dt}=0, escreva a tentativa errada: tentar usar integração por partes pensando que a derivada que aparece é da forma \partial/\partial x e então mover a derivada para x, obtendo algo como
\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}\,dx \overset{?}{=} \left[x\,\Big(\text{algo}\Big)\right]_{-\infty}^{+\infty} - \int \frac{\partial x}{\partial t}\Big(\text{algo}\Big)\,dx.
Nesse passo a pessoa substituiria \partial x/\partial t=0 e concluiria que o integral é zero. Isso é formalmente inválido por duas razões simples:
  1. a integração por partes exige \partial/\partial x no integrando, não \partial/\partial t;
  2. \partial x/\partial t é o derivado de x quando x é tratada como função do tempo — aqui x é a variável de integração, independente de t. Misturar o papel da variável é a origem do erro.

Passo 4

Uma coisa que é válida e usada rotineiramente é trocar a derivada temporal com a integral espacial (regra de Leibniz para domínio fixo). Ou seja,
\frac{d}{dt}\int x\,|\Psi(x,t)|^{2}\,dx = \int x\,\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx,
desde que o domínio de integração seja fixo (por exemplo (-\infty,\infty)) e \Psi seja suficientemente bem comportada (condições físicas normais: decai no infinito, etc.). Essa igualdade é correta e é a que aparece no enunciado; o problema é tentar aplicar integração por partes trocando a derivada de tempo pela de espaço.

Passo 5

Para aplicar integração por partes corretamente precisamos primeiro transformar a derivada temporal em uma derivada espacial — mas isso só é legítimo se fizermos isso por uma identidade que relaciona \partial_t |\Psi|^{2} com uma derivada espacial. Essa identidade existe: é a equação de continuidade da densidade de probabilidade. Vou derivá-la de forma direta (aqui é importante ver o porquê físico e matemático):
Começamos da equação de Schrödinger unidimensional e sua conjugada complexa:
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} + V(x)\Psi,
- i\hbar\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}} + V(x)\Psi^{*}.
Multiplicando a primeira por \Psi^{*} e a segunda por \Psi e subtraindo, obtém-se (após simplificações)
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2} + \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\hbar}{2mi}\bigl(\Psi^{*}\partial_{x}\Psi - \Psi\partial_{x}\Psi^{*}\bigr)\right)=0.
Definimos o fluxo de probabilidade (corrente) j(x,t) por
j(x,t) \equiv \frac{\hbar}{2mi}\bigl(\Psi^{*}\partial_{x}\Psi - \Psi\partial_{x}\Psi^{*}\bigr).
Assim obtemos a equação de continuidade
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2} + \frac{\partial j}{\partial x}=0.

Passo 6

Agora sim podemos usar essa equação de continuidade para trocar a derivada temporal por uma derivada espacial no integral do enunciado:
\int x\,\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}\,dx = -\int x\,\frac{\partial j}{\partial x}\,dx.
Neste integral a derivada é em relação a x, então a integração por partes (em x) é legítima. Aplicando integração por partes:
-\int_{-\infty}^{+\infty} x\,\frac{\partial j}{\partial x}\,dx = -\Bigl[x\,j(x,t)\Bigr]_{-\infty}^{+\infty} + \int_{-\infty}^{+\infty} j(x,t)\,dx.
Agora usamos as condições físicas: para estados físicos normais \Psi(x,t)\to 0 quando |x|\to\infty suficientemente rápido, portanto j(x,t)\to 0 quando |x|\to\infty. Isso garante que o termo de fronteira \Bigl[x\,j(x,t)\Bigr]_{-\infty}^{+\infty} seja zero (mais precisamente, x j\to 0 se j decai mais rápido que 1/|x|, o que acontece para estados físicos razoáveis). Assim ficamos com
\int x\,\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}\,dx = \int j(x,t)\,dx.

Passo 7

Falta relacionar o integral do fluxo à média do momento. Observe que o fluxo pode ser reescrito em termos do operador momento \hat p = -i\hbar\partial_{x}:
j(x,t) = \frac{1}{m}\,\Re\!\bigl(\Psi^{*}(-i\hbar\partial_{x})\Psi\bigr).
Integramos j sobre x:
\int j(x,t)\,dx = \frac{1}{m}\,\Re\int \Psi^{*}(-i\hbar\partial_{x})\Psi\,dx.
Mas a expectativa do momento é
\langle p\rangle = \int \Psi^{*}(-i\hbar\partial_{x})\Psi\,dx,
e, por ser \hat p um operador Hermitiano, \langle p\rangle é real, logo tomar a parte real não altera. Assim
\int j(x,t)\,dx = \frac{1}{m}\langle p\rangle.
Combinando com os passos anteriores obtemos o resultado correto
\frac{d\langle x\rangle}{dt} = \frac{\langle p\rangle}{m}.

Passo 8

Síntese e intuição final (pra você lembrar na prova): o erro fatal de “integrar por partes” no integral original é confundir a variável de derivação com a variável de integração. A integração por partes exige derivada em relação a x se você está integrando em x; não existe uma regra que permita mover uma derivada temporal para x e então usar \partial x/\partial t=0. O procedimento correto é usar a equação de continuidade para trocar \partial_{t}|\Psi|^{2} por -\partial_{x}j e aí aplicar integração por partes (em x) — e então o termo de fronteira some por causa das condições físicas, sobrando \langle p\rangle/m.

Resposta

Não faz sentido aplicar integração por partes diretamente porque a fórmula de integração por partes exige uma derivada em relação à variável de integração x, enquanto no integrando está a derivada temporal \partial/\partial t; mover \partial/\partial t para x e usar \partial x/\partial t=0 mistura variáveis e é inválido. O procedimento correto, usando a equação de continuidade \partial_{t}|\Psi|^{2}+\partial_{x}j=0 e condições de contorno físicas, leva a
\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\frac{\langle p\rangle}{m}.

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