Para quais valores de a e b a equação a seguir é válida?
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{sen}(2 x)}{x^{3}}+a+\frac{b}{x^{2}}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede os valores de a e b tais que
\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\sin(2x)}{x^3}+a+\frac{b}{x^2}\Bigr)=0.
O conteúdo principal é usar a expansão em série de Taylor de \sin(2x) em torno de 0 para identificar e eliminar as singularidades em x^{-2} e o termo constante.

Passo 2

Expandimos \sin(2x) em Taylor até a ordem x^3:
\sin(2x)=2x-\frac{(2x)^3}{6}+o(x^3) =2x-\frac{8x^3}{6}+o(x^3) =2x-\frac{4}{3}x^3+o(x^3).
Dividindo por x^3 obtemos
\frac{\sin(2x)}{x^3} =\frac{2x}{x^3}-\frac{\tfrac{4}{3}x^3}{x^3}+\frac{o(x^3)}{x^3} = \frac{2}{x^2}-\frac{4}{3}+o(1).

Passo 3

Substituindo no limite,
\frac{\sin(2x)}{x^3}+a+\frac{b}{x^2} =\Bigl(\frac{2}{x^2}+\frac{b}{x^2}\Bigr) +\Bigl(a-\tfrac{4}{3}\Bigr)+o(1) =\frac{2+b}{x^2}+\Bigl(a-\tfrac{4}{3}\Bigr)+o(1).
Para que o limite exista finito e igual a zero, deve-se anular o coeficiente de x^{-2} e o termo constante:
2+b=0 \quad\Longrightarrow\quad b=-2,
a-\tfrac{4}{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad a=\tfrac{4}{3}.

Resposta

a=\dfrac{4}{3},\quad b=-2

Exercícios relacionados