Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou de um contra exemplo que mostre que é falsa.
Se f e g forem deriváveis, então
\frac{d}{d x}[f(x)+g(x)]=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado afirma que, dadas duas funções f e g deriváveis em um ponto x, vale a regra da soma:
\frac{d}{dx}\bigl[f(x)+g(x)\bigr]=f'(x)+g'(x).
O conteúdo é a demonstração da regra da soma para derivadas, usando a definição de derivada e a propriedade de aditividade dos limites.

Passo 2

Relembramos a definição de derivada de uma função h em x:
h'(x)=\lim_{h\to0}\frac{h(x+h)-h(x)}{h},
desde que esse limite exista finito.

Passo 3

Aplicamos essa definição à função H(x)=f(x)+g(x):
\frac{d}{dx}\bigl[f(x)+g(x)\bigr] =\lim_{h\to0}\frac{\bigl(f(x+h)+g(x+h)\bigr)-\bigl(f(x)+g(x)\bigr)}{h}
=\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right).

Passo 4

Como f e g são deriváveis em x, os limites \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)
e \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)
existem. Pela propriedade de soma de limites,
\lim_{h\to0}\!\Bigl(A(h)+B(h)\Bigr) =\lim_{h\to0}A(h)+\lim_{h\to0}B(h),
segue que
\frac{d}{dx}\bigl[f(x)+g(x)\bigr] =f'(x)+g'(x).

Resposta

Verdadeira.

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