Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou de um contra exemplo que mostre que é falsa.
Se
e
forem deriváveis, então
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, dadas duas funções
e
deriváveis em um ponto
, vale a regra da soma:
O conteúdo é a demonstração da regra da soma para derivadas, usando a definição de derivada e a propriedade de aditividade dos limites.
Passo 2
Relembramos a definição de derivada de uma função
em
:
desde que esse limite exista finito.
Passo 3
Aplicamos essa definição à função
:
Passo 4
Como
e
são deriváveis em
, os limites
e
existem. Pela propriedade de soma de limites,
e
existem. Pela propriedade de soma de limites,
segue que
Resposta
Verdadeira.