Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou de um contra exemplo que mostre que é falsa.
Sef e
forem deriváveis, então
Sef e
Passo 1
O enunciado afirma que, se
e
forem deriváveis, então
Isso envolve o conteúdo da regra da cadeia, que nos ensina a derivar composições de funções.
Passo 2
A regra da cadeia estabelece que, sempre que
-
é derivável em , e -
é derivável em ,
então a composiçãoé derivável em e
Passo 3
Para ver por que isso vale, usamos a definição de derivada como limite do quociente incremental:
Quando
, o segundo fator tende justamente a
, e o primeiro fator, como
, tende a
. O produto desses limites dá
Passo 4
Como não houve nenhuma hipótese adicional, concluímos que a afirmação é verdadeira: ao derivar
, aplicamos a derivada de
no ponto interno
e multiplicamos pela derivada de
em
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.