Para que valores de a e b a função f é contínua em todo número real?
f(x)=lx+2 a, se x <=-1 a^2, se x>-1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)= x + 2a, & x <= -1, a^2, & x > -1
O único ponto em que a continuidade pode falhar é em x=-1, pois em qualquer outro x cada ramo é uma função polinomial (portanto contínua). Para que f seja contínua em toda reta, precisamos garantir continuidade em x=-1.

Passo 2

Condição de continuidade em x=-1:
  1. O valor da função em x=-1 é dado pelo ramo x<=-1, portanto
f(-1)=(-1)+2a=2a-1
  1. O limite pela direita em -1 vem do ramo x>-1:
limxto-1^+f(x)=a^2
  1. O limite pela esquerda em -1 coincide com f(-1):
limxto-1^-f(x)=2a-1
Para continuidade em x=-1, é necessário que
limxto-1^-f(x)=limxto-1^+f(x),
isto é,
2a-1 = a^2

Passo 3

Resolvendo a equação
a^2 - (2a-1)=0 Longrightarrow a^2 -2a +1=0 Longrightarrow (a-1)^2=0 Longrightarrow a=1

Resposta

A função f é contínua em todo número real se, e somente se,
a = 1

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