Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o seguinte exercício de cálculo integral:
Conteúdo da Matéria:
- Coordenadas Esféricas: Um sistema de coordenadas onde um ponto no espaço é definido por três parâmetros: raio
, ângulo polar e ângulo azimutal . - Integrais Triplas: Cálculo de volumes ou outras grandezas em três dimensões usando integrais.
- Transformação de Coordenadas: Mudança de coordenadas cartesianas para esféricas para facilitar a resolução de integrais.
O que Vamos Precisar:
- Entender a fórmula da integral em coordenadas esféricas.
- Saber como integrar funções envolvendo
, e . - Aplicar técnicas de substituição para resolver integrais mais complexas.
Passo 2
Entendendo a Integral em Coordenadas Esféricas
A integral dada está em coordenadas esféricas. Na coordenada esférica, o elemento de volume
é dado por:
Então, a integral que temos é:
Aqui,
provavelmente representa a coordenada
em coordenadas cartesianas, já que:
Mas, de qualquer forma, vamos focar na estrutura da integral.
Passo 3
Separando as Variáveis da Integral
Podemos reescrever a integral separando os diferentes componentes:
Explicação:
- Separar os termos que dependem de
, e facilita a resolução. - A integral mais interna é em relação a
, seguida pela , e finalmente .
Passo 4
Resolvendo a Integral Mais Interna (
)
Vamos calcular a integral em relação a
:
Explicação:
- A integral de
em relação a é . - Avaliamos essa expressão nos limites de 0 a
.
Passo 5
Substituindo de Volta na Integral
Agora, substituímos o resultado na integral:
Simplificando, sabemos que
, então:
Portanto, a expressão fica:
Passo 6
Resolvendo a Integral em Relação a
Vamos resolver a integral:
Substituição:
Vamos usar a substituição:
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Calculando:
Portanto:
Passo 7
Resolvendo a Integral em Relação a
integral0^2 pi dtheta cdot 18 = 18 cdot [ theta ]0^2pi = 18 cdot 2pi = pi4
Agora, temos:
Resposta
O valor da integral é
.