Para que valores de a e b todas as soluções da EDO y^prime prime+a y^prime+b y=0 satisfazem a condição lim t +infty y(t)=0 ? Sugestão: Mostre que se b<0, então as raízes da equação característica são reais e têm sinais contrários. Se b=0 mostre que 0 é uma raiz da equação característica. Se b>0 as raízes podem ser reais ou complexas. Analise os dois casos.

Passo 1

O enunciado pede os valores de a e b tais que toda solução da EDO
y'' + a,y' + b,y = 0
satisfaça limtto+inftyy(t)=0. O conteúdo envolvido é a análise da equação característica e o decaimento exponencial das soluções.

Passo 2

Associamos a equação diferencial à equação característica
r^2 + a,r + b = 0,
cujas raízes são
r1,2 = -a pm raiza^2 - 4b2
A solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t

Passo 3

Se b<0, então o produto das raízes r1r2 = b é negativo, de modo que as raízes são reais e de sinais opostos. Há sempre uma raiz positiva r>0, e o termo e^r t cresce sem limite, impedindo limtto+inftyy(t)=0 para todas as soluções. Logo, b<0 está fora.

Passo 4

Se b=0, a equação característica fatora em r(r+a)=0, com raízes r=0 e r=-a. A solução geral é
y(t)=C1 + C2 e^-a t
O termo constante C1 não decai, de modo que não se garante limtto+inftyy(t)=0 para todas as escolhas de C1. Assim, b=0 também não serve.

Passo 5

Suponha agora b>0.
Se a^2 - 4b >= 0, as raízes r1,r2 são reais, com soma r1+r2=-a e produto r1r2=b>0. Para que ambas sejam negativas precisamos de -a<0, isto é, a>0.
Se a^2 - 4b < 0, as raízes são complexas conjugadas
r = -a2 pm i,omega,
e a parte real é -tfraca2, que só é negativa se a>0.
Em ambos os subcasos, a condição para decaimento de e^r t é a>0.

Passo 6

Concluímos que todas as soluções tendem a zero quando tto+infty se, e somente se, as duas condições
a>0 e b>0
forem satisfeitas.

Resposta

a>0 e b>0.

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