Para que valores de
e
todas as soluções da EDO
satisfazem a condição
? Sugestão: Mostre que se
, então as raízes da equação característica são reais e têm sinais contrários. Se
mostre que 0 é uma raiz da equação característica. Se
as raízes podem ser reais ou complexas. Analise os dois casos.
Passo 1
O enunciado pede os valores de
e
tais que toda solução da EDO
satisfaça
. O conteúdo envolvido é a análise da equação característica e o decaimento exponencial das soluções.
Passo 2
Associamos a equação diferencial à equação característica
cujas raízes são
A solução geral da EDO é
Passo 3
Se
, então o produto das raízes
é negativo, de modo que as raízes são reais e de sinais opostos. Há sempre uma raiz positiva
, e o termo
cresce sem limite, impedindo
para todas as soluções. Logo,
está fora.
Passo 4
Se
, a equação característica fatora em
, com raízes
e
. A solução geral é
O termo constante
não decai, de modo que não se garante
para todas as escolhas de
. Assim,
também não serve.
Passo 5
Suponha agora
.
Se
, as raízes
são reais, com soma
e produto
. Para que ambas sejam negativas precisamos de
, isto é,
.
Se
, as raízes são complexas conjugadas
e a parte real é
, que só é negativa se
.
Em ambos os subcasos, a condição para decaimento de
é
.
Passo 6
Concluímos que todas as soluções tendem a zero quando
se, e somente se, as duas condições
forem satisfeitas.