Calcule as derivadas parciais das funçōes dadas:
g(x, y)=raizx^2+3 x y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
g(x,y)=raizx^2+3x y^2
Isso envolve aplicar a regra da cadeia, definindo a função interna
u(x,y)=x^2+3x y^2
e depois derivar g(x,y)=u(x,y)^1/2 em relação a x e y.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de g em relação a u pela regra da cadeia:
partial gpartial u =12u^-1/2 =12raizu
e em seguida encontraremos partial u/partial x e partial u/partial y.

Passo 3

Derivando u(x,y)=x^2+3x y^2 em relação a x, vemos que
partial upartial x =2x+3y^2
Pela regra da cadeia,
partial gpartial x =partial gpartial u,partial upartial x =12raizu,(2x+3y^2) =2x+3y^22raizx^2+3x y^2

Passo 4

Agora derivamos u(x,y) em relação a y:
partial upartial y =6x y
Novamente pela regra da cadeia,
partial gpartial y =partial gpartial u,partial upartial y =12raizu,(6x y) =6x y2raizx^2+3x y^2 =3x yraizx^2+3x y^2

Resposta

partial gpartial x =2x+3y^22raizx^2+3x y^2
partial gpartial y =3x yraizx^2+3x y^2

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