- Para quais valores de
o conjunto de vetores
é L.D.?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de dois vetores
e pede: para quais valores de
esse conjunto é linearmente dependente?
Informações relevantes:
- Os dois vetores vivem em
. - Ambos têm terceira componente igual a
. - A pergunta é exatamente: quais valores de
fazem com que os vetores sejam L.D. (linearmente dependentes).
Passo 2
O que significa “linearmente dependente” para dois vetores? Vou explicar direitinho, devagar e fácil.
Definição geral: dois vetores
e
são linearmente dependentes se existem escalares
e
, não ambos zero, tais que
Para o caso de exatamente dois vetores, isso é equivalente a dizer que um é múltiplo escalar do outro (ou seja, existe um escalar
tal que
ou
). Por que? Porque se
na combinação acima, podemos dividir por
e escrever
. O outro caso é simétrico. Também, se algum dos vetores for o vetor nulo, o par é automaticamente dependente (mas aqui nenhum dos vetores tem todas as componentes nulas, vamos verificar isso depois).
Resumo prático para dois vetores: testar se existe
tal que
Se existir esse
, são L.D.; se não existir, são L.I. (linearmente independentes).
Passo 3
Aplicando essa ideia aos vetores dados, procuramos
tal que
Igualando componente a componente obtemos o sistema
A terceira igualdade é sempre verdadeira (não dá informação nova). Da segunda igualdade vem diretamente
Substituindo
na primeira igualdade:
Então
Portanto
Também é bom checar o caso “vetor zero”: para que
fosse o vetor nulo precisaríamos de
e
simultaneamente — isso é impossível, então não há outro caso adicional.
Passo 4
Verificação rápida (pra ficar seguro e para você poder repetir isso na prova):
- Se
então . Logo são L.D. - Se
então . Também L.D. - Para qualquer outro
não existe que satisfaça as duas primeiras igualdades, então os vetores seriam L.I.