1. Para quais valores de a o conjunto de vetores \left\{(3,1,0),\left(a^{2}+2,2,0\right)\right\} é L.D.?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de dois vetores
v_1=(3,1,0),\qquad v_2=\bigl(a^{2}+2,\,2,\,0\bigr)
e pede: para quais valores de a esse conjunto é linearmente dependente?
Informações relevantes:
  • Os dois vetores vivem em \mathbb{R}^{3}.
  • Ambos têm terceira componente igual a 0.
  • A pergunta é exatamente: quais valores de a fazem com que os vetores sejam L.D. (linearmente dependentes).

Passo 2

O que significa “linearmente dependente” para dois vetores? Vou explicar direitinho, devagar e fácil.
Definição geral: dois vetores v_1 e v_2 são linearmente dependentes se existem escalares c_1 e c_2, não ambos zero, tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 = 0.
Para o caso de exatamente dois vetores, isso é equivalente a dizer que um é múltiplo escalar do outro (ou seja, existe um escalar k tal que v_2 = k v_1 ou v_1 = k v_2). Por que? Porque se c_2\neq0 na combinação acima, podemos dividir por c_2 e escrever v_2 = -(c_1/c_2)v_1. O outro caso é simétrico. Também, se algum dos vetores for o vetor nulo, o par é automaticamente dependente (mas aqui nenhum dos vetores tem todas as componentes nulas, vamos verificar isso depois).
Resumo prático para dois vetores: testar se existe k tal que
v_2 = k v_1.
Se existir esse k, são L.D.; se não existir, são L.I. (linearmente independentes).

Passo 3

Aplicando essa ideia aos vetores dados, procuramos k tal que
\bigl(a^{2}+2,\,2,\,0\bigr) = k\,(3,1,0).
Igualando componente a componente obtemos o sistema
a^{2}+2 = 3k, \qquad 2 = k, \qquad 0 = 0.
A terceira igualdade é sempre verdadeira (não dá informação nova). Da segunda igualdade vem diretamente
k = 2.
Substituindo k=2 na primeira igualdade:
a^{2}+2 = 3\cdot 2 = 6.
Então
a^{2} = 6-2 = 4.
Portanto
a = \pm 2.
Também é bom checar o caso “vetor zero”: para que v_2 fosse o vetor nulo precisaríamos de a^{2}+2=0 e 2=0 simultaneamente — isso é impossível, então não há outro caso adicional.

Passo 4

Verificação rápida (pra ficar seguro e para você poder repetir isso na prova):
  • Se a=2 então v_2=(2^{2}+2,2,0)=(6,2,0)=2\,(3,1,0)=2v_1. Logo são L.D.
  • Se a=-2 então v_2=((-2)^{2}+2,2,0)=(6,2,0)=2v_1. Também L.D.
  • Para qualquer outro a não existe k que satisfaça as duas primeiras igualdades, então os vetores seriam L.I.

Resposta

a=2
a=-2

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