1. Verifique se os vetores são L.I sobre V.
(a) \{(2,-1,4),(-4,10,2)\}, V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto formado pelos vetores (2,-1,4) e (-4,10,2) é linearmente independente (L.I.) no espaço V=\mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
  • Vetor v_{1}=(2,-1,4).
  • Vetor v_{2}=(-4,10,2).
  • Espaço ambiente V=\mathbb{R}^{3}.
  • Pergunta: os vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes?

Passo 2

Definição principal (a ferramenta que vamos usar).
Uma família de vetores \{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{k}=0. Caso exista uma combinação não-trivial (alguma \alpha_{i}\neq0) que produza o vetor zero, os vetores são linearmente dependentes.
Observação útil para dois vetores: dois vetores em \mathbb{R}^{n} são linearmente dependentes exatamente quando um é múltiplo escalar do outro. Isso vem direto da definição: se v_{2}=c\,v_{1} então v_{2}-c\,v_{1}=0 é uma combinação não-trivial; e se existir combinação não-trivial \alpha v_{1}+\beta v_{2}=0 com (\alpha,\beta)\neq(0,0), então se \beta\neq0 tem-se v_{2}=(-\alpha/\beta)v_{1}.

Passo 3

Aplicando o critério simples: testar se v_{2} é múltiplo escalar de v_{1}.
Procuramos c\in\mathbb{R} tal que
(-4,10,2)=c\,(2,-1,4).
Comparando componente a componente obtemos as equações
-4 = 2c, \qquad 10 = -1\cdot c, \qquad 2 = 4c.
Resolvendo cada uma:
2c=-4 \implies c=-2,
-1\cdot c=10 \implies c=-10,
4c=2 \implies c=\tfrac{1}{2}.
As três equações dão três valores diferentes para c ( -2, -10 e \tfrac{1}{2}). Isso é uma contradição à hipótese de existir um único c que satisfaça todas as componentes. Portanto v_{2} não é múltiplo escalar de v_{1}.

Passo 4

Para reforçar (procedimento direto pela definição): montar a combinação linear homogênea e resolver para os escalares.
Considere \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha(2,-1,4)+\beta(-4,10,2)=(0,0,0).
Isso gera o sistema de equações por componentes:
2\alpha - 4\beta = 0,
-\alpha + 10\beta = 0,
4\alpha + 2\beta = 0.
Resolvendo: da primeira equação segue
2\alpha - 4\beta = 0 \implies \alpha = 2\beta.
Substituindo na segunda:
- (2\beta) + 10\beta = 8\beta = 0 \implies \beta = 0.
Logo \alpha = 2\beta = 0. A terceira equação fica 4\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0, satisfeita. Assim a única solução é \alpha=\beta=0.

Passo 5

Interpretação final e confiança do resultado.
A verificação por proporcionalidade mostrou que não existe escalar c com v_{2}=c\,v_{1}. A resolução direta do sistema homogêneo mostrou que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial \alpha=\beta=0. Ambos os fatos confirmam a mesma conclusão: os dois vetores não são múltiplos um do outro e formam, portanto, um conjunto linearmente independente em \mathbb{R}^{3}.
Vai dar certo na prova — lembra que para dois vetores sempre vale esse teste rápido: se não são proporcionais, são L.I.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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