- Verifique se os vetores são L.I sobre
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto formado pelos vetores
e
é linearmente independente (L.I.) no espaço
.
Informações dadas:
- Vetor
. - Vetor
. - Espaço ambiente
. - Pergunta: os vetores
e são linearmente independentes?
Passo 2
Definição principal (a ferramenta que vamos usar).
Uma família de vetores é linearmente independente se a única solução do sistema
Uma família de vetores
é
. Caso exista uma combinação não-trivial (alguma
) que produza o vetor zero, os vetores são linearmente dependentes.
Observação útil para dois vetores: dois vetores em
são linearmente dependentes exatamente quando um é múltiplo escalar do outro. Isso vem direto da definição: se
então
é uma combinação não-trivial; e se existir combinação não-trivial
com
, então se
tem-se
.
Passo 3
Aplicando o critério simples: testar se
é múltiplo escalar de
.
Procuramos
tal que
Comparando componente a componente obtemos as equações
Resolvendo cada uma:
As três equações dão três valores diferentes para
(
,
e
). Isso é uma contradição à hipótese de existir um único
que satisfaça todas as componentes. Portanto
não é múltiplo escalar de
.
Passo 4
Para reforçar (procedimento direto pela definição): montar a combinação linear homogênea e resolver para os escalares.
Considere
tais que
Isso gera o sistema de equações por componentes:
Resolvendo: da primeira equação segue
Substituindo na segunda:
Logo
. A terceira equação fica
, satisfeita. Assim a única solução é
.
Passo 5
Interpretação final e confiança do resultado.
A verificação por proporcionalidade mostrou que não existe escalar
com
. A resolução direta do sistema homogêneo mostrou que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial
. Ambos os fatos confirmam a mesma conclusão: os dois vetores não são múltiplos um do outro e formam, portanto, um conjunto linearmente independente em
.
Vai dar certo na prova — lembra que para dois vetores sempre vale esse teste rápido: se não são proporcionais, são L.I.
Resposta
Os vetores são linearmente independentes.