1. Verifique se os vetores são L.I sobre V.
(b) \{(0,0,1,1),(2,2,0,0),(3,3,0,-3)\}, V=\mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \{(0,0,1,1),(2,2,0,0),(3,3,0,-3)\} é linearmente independente em V=\mathbb{R}^{4}.
Informações dadas:
  • Vetor v_{1}=(0,0,1,1).
  • Vetor v_{2}=(2,2,0,0).
  • Vetor v_{3}=(3,3,0,-3).
  • Pergunta: verificar se esses vetores são linearmente independentes (L.I.) em \mathbb{R}^{4}.

Passo 2

Definição e estratégia (passo-a-passo, como na prova).
  • Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0
for \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Ou seja, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial.
  • Na prática: introduzimos escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}, escrevemos a combinação linear componente a componente e resolvemos o sistema resultante. Se isso for possível apenas com todos os \alpha_{i}=0, então os vetores são L.I.

Passo 3

Escrever a combinação linear e calcular componente a componente.
Sejam \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\in\mathbb{R} tais que
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0.
Substituindo os vetores:
\alpha_{1}(0,0,1,1)+\alpha_{2}(2,2,0,0)+\alpha_{3}(3,3,0,-3)=(0,0,0,0).
Somando componente a componente obtemos:
(2\alpha_{2}+3\alpha_{3},\;2\alpha_{2}+3\alpha_{3},\;\alpha_{1},\;\alpha_{1}-3\alpha_{3})=(0,0,0,0).

Passo 4

Formar o sistema de equações e resolver passo a passo.
Das componentes iguais a zero obtemos o sistema
\begin{cases} 2\alpha_{2}+3\alpha_{3}=0,\\[4pt] 2\alpha_{2}+3\alpha_{3}=0,\\[4pt] \alpha_{1}=0,\\[4pt] \alpha_{1}-3\alpha_{3}=0. \end{cases}
Observações e solução:
  • A terceira equação dá diretamente \alpha_{1}=0.
  • Substituindo \alpha_{1}=0 na quarta equação obtemos 0-3\alpha_{3}=0, logo \alpha_{3}=0.
  • Com \alpha_{3}=0 a primeira equação vira 2\alpha_{2}=0, portanto \alpha_{2}=0.
Portanto \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0 é a única solução.]

Passo 5

Conclusão e interpretação rápida para a prova.
  • Encontramos apenas a solução trivial para a combinação linear igual a zero, então o conjunto é linearmente independente.
  • Intuição útil: o vetor v_{1} é o único que tem componente não nula na terceira posição; isso força \alpha_{1}=0 imediatamente, simplificando a verificação. Dica de prova rápida: procure uma componente em que apenas um vetor tenha entrada não nula — assim resolve-se o problema na hora.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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