- Verifique se os vetores são L.I sobre
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente independente em
.
Informações dadas:
- O espaço vetorial é o conjunto de todas as funções reais de variável real:
. - Os “vetores” são as funções
, e . - A pergunta é: estas três funções são linearmente independentes?
Passo 2
Vamos recordar o que significa linearmente independente (explicação passo a passo, sem pressa).
Definição (em palavras): um conjunto de vetores (aqui, funções) é linearmente independente se a única combinação linear que dá a função zero (função identicamente nula) é a combinação trivial, isto é, todos os coeficientes iguais a zero.
Em fórmulas:
é linearmente independente se, sempre que
então necessariamente
. Aqui
denota a função nula (a função que vale
para todo
).
Estratégia prática para este tipo de problema: mostrar que existe uma combinação linear não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que produz a função nula. Se conseguir isso, o conjunto é linearmente dependente. Se não encontrar tal combinação, tenta-se provar que só a combinação trivial funciona (mas aqui veremos que há uma combinação simples).
Passo 3
Usar uma identidade trigonométrica clássica que envolve exatamente essas funções.
Sabemos (identidade de Pitágoras para seno e cosseno):
Rearranjando essa identidade, obtemos
Agora interprete essa igualdade como uma combinação linear das três funções:
Aqui os coeficientes
,
,
não são todos zero (na verdade são todos diferentes de zero), e produzem a função nula. Isso é exatamente uma combinação linear não trivial que anula todas as
.
Passo 4
Concluir a partir do passo anterior.
Como encontramos coeficientes
, nem todos nulos, tais que
seguindo a definição, o conjunto
é linearmente dependente.
Observação didática extra (útil para a prova): embora as três funções sejam dependentes, quaisquer duas delas são independentes. Por exemplo, se
para todo
, escolhendo
(onde
) e
(onde
) deduz-se
. Isso mostra que pares como
,
e
são linearmente independentes, mas adicionando a terceira função aparece exatamente a dependência provocada por
.
Resposta
Linearmente dependentes.