1. Verifique se os vetores são L.I sobre V.
(d) \left\{1, \cos ^{2} x, \operatorname{sen}^{2} x\right\}, V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções \{1,\cos^{2}x,\sin^{2}x\} é linearmente independente em V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}).
Informações dadas:
  • O espaço vetorial é o conjunto de todas as funções reais de variável real: V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}).
  • Os “vetores” são as funções f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=\cos^{2}x e f_{3}(x)=\sin^{2}x.
  • A pergunta é: estas três funções são linearmente independentes?

Passo 2

Vamos recordar o que significa linearmente independente (explicação passo a passo, sem pressa).
Definição (em palavras): um conjunto de vetores (aqui, funções) é linearmente independente se a única combinação linear que dá a função zero (função identicamente nula) é a combinação trivial, isto é, todos os coeficientes iguais a zero.
Em fórmulas: \{f_{1},f_{2},f_{3}\} é linearmente independente se, sempre que
a\,f_{1}(x)+b\,f_{2}(x)+c\,f_{3}(x)=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
então necessariamente a=b=c=0. Aqui 0 denota a função nula (a função que vale 0 para todo x).
Estratégia prática para este tipo de problema: mostrar que existe uma combinação linear não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que produz a função nula. Se conseguir isso, o conjunto é linearmente dependente. Se não encontrar tal combinação, tenta-se provar que só a combinação trivial funciona (mas aqui veremos que há uma combinação simples).

Passo 3

Usar uma identidade trigonométrica clássica que envolve exatamente essas funções.
Sabemos (identidade de Pitágoras para seno e cosseno):
\cos^{2}x+\sin^{2}x=1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Rearranjando essa identidade, obtemos
1-\cos^{2}x-\sin^{2}x=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Agora interprete essa igualdade como uma combinação linear das três funções:
(1)\cdot 1 + (-1)\cdot \cos^{2}x + (-1)\cdot \sin^{2}x = 0\quad\text{para todo }x.
Aqui os coeficientes a=1, b=-1, c=-1 não são todos zero (na verdade são todos diferentes de zero), e produzem a função nula. Isso é exatamente uma combinação linear não trivial que anula todas as x.

Passo 4

Concluir a partir do passo anterior.
Como encontramos coeficientes (a,b,c)=(1,-1,-1), nem todos nulos, tais que
a\cdot 1 + b\cdot \cos^{2}x + c\cdot \sin^{2}x \equiv 0,
seguindo a definição, o conjunto \{1,\cos^{2}x,\sin^{2}x\} é linearmente dependente.
Observação didática extra (útil para a prova): embora as três funções sejam dependentes, quaisquer duas delas são independentes. Por exemplo, se a\cdot 1+b\cdot\cos^{2}x\equiv0 para todo x, escolhendo x=0 (onde \cos^{2}0=1) e x=\tfrac{\pi}{2} (onde \cos^{2}\tfrac{\pi}{2}=0) deduz-se a=b=0. Isso mostra que pares como \{1,\cos^{2}x\}, \{1,\sin^{2}x\} e \{\cos^{2}x,\sin^{2}x\} são linearmente independentes, mas adicionando a terceira função aparece exatamente a dependência provocada por \cos^{2}x+\sin^{2}x=1.

Resposta

Linearmente dependentes.

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