Para que valores de
e
a equação abaixo representa uma circunferência?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pergunta: para quais valores de
e
essa equação representa uma circunferência?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficiente do termo
é . - Coeficiente do termo
é . - Não há termo em
(coeficiente do é zero). - Termos lineares:
e . - Termo independente:
.
Passo 2
Vamos lembrar qual é a forma padrão de uma circunferência no plano e por que isso nos dá condições sobre os coeficientes.
Uma circunferência com centro em
e raio
tem equação padrão
Expandindo essa equação obtemos
Observe duas coisas importantes nessa forma expandida:
- Os coeficientes de
e de são iguais (ambos iguais a ). - Não aparece termo em
.
Portanto, para que uma equação de segundo grau represente uma circunferência (possivelmente após multiplicar tudo por uma constante não nula), é necessário que os coeficientes de
e
sejam iguais e que o termo em
seja nulo. No nosso caso o termo em
já é zero. Logo a condição que resta é que os coeficientes de
e
sejam iguais.
Passo 3
Aplicando a condição de igualdade dos coeficientes de
e
ao nosso polinômio, exigimos
Além disso, esse coeficiente não pode ser zero (se fosse zero perderíamos o termo
e não conseguiríamos ter a forma quadrática necessária para uma circunferência). Como
, a escolha
é válida.
Então já temos
. A partir daqui vamos encontrar a condição em
para que a equação realmente descreva uma circunferência com raio real positivo (ou ver o caso degenerado).
Passo 4
Substituindo
na equação inicial obtemos
É conveniente dividir toda a equação por
para simplificar:
Agora vamos completar quadrados em
e em
. Lembre que completar quadrado para
dá
. Aqui temos
, que equivale a
, então:
Do mesmo modo para
:
Substituindo essas identidades na equação dividida por
:
Somando os termos constantes:
Isolando os quadrados do lado esquerdo:
Passo 5
A última igualdade está na forma padrão de uma circunferência de centro
e raio
tal que
Para que a equação represente uma circunferência com raio real positivo devemos ter
. Assim exigimos
Resolvendo a desigualdade:
Se quisermos também mencionar o caso limite: se
então
, o que dá uma circunferência degenerada reduzida a um único ponto (centro
e raio
). Para
teríamos
, não existe raio real e, portanto, não representa circunferência real.
Passo 6
Resumo prático (como você pode usar na prova): primeiro iguale os coeficientes de
e
; depois complete quadrados para achar o centro e
; por fim imponha
. Aqui isso levou a
e a condição em
acima.