Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?
m x^{2}+2 y^{2}+24 x+24 y-k=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
m x^{2}+2 y^{2}+24 x+24 y-k=0
e pergunta: para quais valores de m e k essa equação representa uma circunferência?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficiente do termo x^{2} é m.
  • Coeficiente do termo y^{2} é 2.
  • Não há termo em xy (coeficiente do xy é zero).
  • Termos lineares: 24x e 24y.
  • Termo independente: -k.

Passo 2

Vamos lembrar qual é a forma padrão de uma circunferência no plano e por que isso nos dá condições sobre os coeficientes.
Uma circunferência com centro em (h,\ell) e raio r tem equação padrão
(x-h)^{2}+(y-\ell)^{2}=r^{2}.
Expandindo essa equação obtemos
x^{2}+y^{2}-2h x -2\ell y + (h^{2}+\ell^{2}-r^{2})=0.
Observe duas coisas importantes nessa forma expandida:
  • Os coeficientes de x^{2} e de y^{2} são iguais (ambos iguais a 1).
  • Não aparece termo em xy.
Portanto, para que uma equação de segundo grau represente uma circunferência (possivelmente após multiplicar tudo por uma constante não nula), é necessário que os coeficientes de x^{2} e y^{2} sejam iguais e que o termo em xy seja nulo. No nosso caso o termo em xy já é zero. Logo a condição que resta é que os coeficientes de x^{2} e y^{2} sejam iguais.

Passo 3

Aplicando a condição de igualdade dos coeficientes de x^{2} e y^{2} ao nosso polinômio, exigimos
m = 2.
Além disso, esse coeficiente não pode ser zero (se fosse zero perderíamos o termo x^{2} e não conseguiríamos ter a forma quadrática necessária para uma circunferência). Como 2\neq 0, a escolha m=2 é válida.
Então já temos m=2. A partir daqui vamos encontrar a condição em k para que a equação realmente descreva uma circunferência com raio real positivo (ou ver o caso degenerado).

Passo 4

Substituindo m=2 na equação inicial obtemos
2x^{2}+2y^{2}+24x+24y-k=0.
É conveniente dividir toda a equação por 2 para simplificar:
x^{2}+y^{2}+12x+12y-\frac{k}{2}=0.
Agora vamos completar quadrados em x e em y. Lembre que completar quadrado para x^{2}+2px (x+p)^{2}-p^{2}. Aqui temos x^{2}+12x, que equivale a x^{2}+2\cdot6\cdot x, então:
x^{2}+12x = (x+6)^{2}-36.
Do mesmo modo para y:
y^{2}+12y = (y+6)^{2}-36.
Substituindo essas identidades na equação dividida por 2:
(x+6)^{2}-36 + (y+6)^{2}-36 -\frac{k}{2}=0.
Somando os termos constantes:
(x+6)^{2} + (y+6)^{2} -72 -\frac{k}{2}=0.
Isolando os quadrados do lado esquerdo:
(x+6)^{2} + (y+6)^{2} = 72 + \frac{k}{2}.

Passo 5

A última igualdade está na forma padrão de uma circunferência de centro (-6,-6) e raio r tal que
r^{2}=72+\frac{k}{2}.
Para que a equação represente uma circunferência com raio real positivo devemos ter r^{2}>0. Assim exigimos
72+\frac{k}{2}>0.
Resolvendo a desigualdade:
\frac{k}{2}>-72 \quad\Longrightarrow\quad k>-144.
Se quisermos também mencionar o caso limite: se k=-144 então r^{2}=0, o que dá uma circunferência degenerada reduzida a um único ponto (centro (-6,-6) e raio 0). Para k<-144 teríamos r^{2}<0, não existe raio real e, portanto, não representa circunferência real.

Passo 6

Resumo prático (como você pode usar na prova): primeiro iguale os coeficientes de x^{2} e y^{2}; depois complete quadrados para achar o centro e r^{2}; por fim imponha r^{2}>0. Aqui isso levou a m=2 e a condição em k acima.

Resposta

m=2 e k>-144.
m=2 e k=-144 dá circunferência degenerada (ponto, raio 0).

Exercícios relacionados