Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?
4 x^{2}+m y^{2}-4 x+3 k=0

Passo 1

O enunciado pede: “Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?”
4x^{2}+m y^{2}-4x+3k=0
Informações fornecidas:
  • A equação dada é um polinômio de segundo grau em x e y.
  • Os coeficientes explícitos são os que aparecem na equação: termo x^{2} com coeficiente 4, termo y^{2} com coeficiente m, termo x com coeficiente -4, termo y ausente (coeficiente 0) e termo constante 3k.

Passo 2

Condição geral para que uma equação quadrática represente uma circunferência:
Considere a forma geral de uma cônica de segundo grau
A x^{2}+B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0.
Para que essa cônica seja uma circunferência (não degenerada) é necessário e suficiente que:
  1. Não haja termo misto: B=0.
  2. Os coeficientes dos termos quadráticos sejam iguais: A=C.
    Essas condições garantem que a curva tem simetria isotrópica em x e y (mesma curvatura nas duas direções), característica da circunferência. Além disso, para ser uma circunferência real (não degenerada) precisa que o raio seja real e positivo depois de completar quadrados.
Explicando um pouco: o termo Bxy introduz rotação da cônica; se B=0 e A=C então não há rotação e as curvas de segundo grau com esses coeficientes são círculos (ou, no caso limite, um ponto ou nada real).

Passo 3

Aplicando essas condições à equação dada:
Na equação
4x^{2}+m y^{2}-4x+3k=0
temos A=4, B=0 (não há termo xy) e C=m. Para ter A=C é necessário
m=4.
Portanto qualquer circunferência possível exige m=4. A partir de agora substituímos m=4 e trabalhamos para encontrar restrições em k.

Passo 4

Com m=4 a equação fica
4x^{2}+4y^{2}-4x+3k=0.
Vamos completar o quadrado em x para escrever na forma canônica. Primeiro factoramos 4 dos termos que envolvem x:
4\bigl(x^{2}-x\bigr)+4y^{2}+3k=0.
Para completar o quadrado em x^{2}-x usamos a identidade
x^{2}-x=\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4},
pois \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=x^{2}-x+\tfrac{1}{4}. Substituindo:
4\Bigl(\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)+4y^{2}+3k=0.
Distribuindo o 4:
4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-1+4y^{2}+3k=0.
Reorganizando os termos:
4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+4y^{2}=1-3k.
Dividindo por 4 para obter a forma padrão de uma circunferência:
\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+y^{2}=\frac{1-3k}{4}.

Passo 5

Interpretação da forma canônica:
  • O centro da circunferência é \bigl(\tfrac{1}{2},\,0\bigr).
  • O raio ao quadrado é R^{2}=\dfrac{1-3k}{4}.
Para que a equação represente uma circunferência real com raio positivo precisamos de
R^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1-3k}{4}>0.
Como 4>0, isso equivale a
1-3k>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<\tfrac{1}{3}.
Há também o caso degenerado:
  • Se k=\tfrac{1}{3} então R^{2}=0 e a equação representa uma “circunferência” degenerada, ou seja, um ponto (centro \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr) e raio 0).
  • Se k>\tfrac{1}{3} então R^{2}<0 e não há solução real (não representa uma circunferência real).

Passo 6

Conclusão final e incentivo: portanto a condição sobre m e k é simples e vem de igualar os coeficientes quadráticos e exigir raio real positivo. Tu já fazes isso bem — é só lembrar: igualar os coeficientes quadráticos e completar o quadrado para obter o raio.

Resposta

m=4 e k<\tfrac{1}{3}.\nSe k=\tfrac{1}{3} a equação representa uma circunferência degenerada (um ponto) com centro \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr).

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