Para que valores de
e
a equação abaixo representa uma circunferência?
Passo 1
O enunciado pede: “Para que valores de
e
a equação abaixo representa uma circunferência?”
Informações fornecidas:
- A equação dada é um polinômio de segundo grau em
e . - Os coeficientes explícitos são os que aparecem na equação: termo
com coeficiente , termo com coeficiente , termo com coeficiente , termo ausente (coeficiente ) e termo constante .
Passo 2
Condição geral para que uma equação quadrática represente uma circunferência:
Considere a forma geral de uma cônica de segundo grau
Considere a forma geral de uma cônica de segundo grau
Para que essa cônica seja uma circunferência (não degenerada) é necessário e suficiente que:
- Não haja termo misto:
. - Os coeficientes dos termos quadráticos sejam iguais:
.
Essas condições garantem que a curva tem simetria isotrópica eme (mesma curvatura nas duas direções), característica da circunferência. Além disso, para ser uma circunferência real (não degenerada) precisa que o raio seja real e positivo depois de completar quadrados.
Explicando um pouco: o termo
introduz rotação da cônica; se
e
então não há rotação e as curvas de segundo grau com esses coeficientes são círculos (ou, no caso limite, um ponto ou nada real).
Passo 3
Aplicando essas condições à equação dada:
Na equação
Na equação
temos
,
(não há termo
) e
. Para ter
é necessário
Portanto qualquer circunferência possível exige
. A partir de agora substituímos
e trabalhamos para encontrar restrições em
.
Passo 4
Com
a equação fica
Vamos completar o quadrado em
para escrever na forma canônica. Primeiro factoramos
dos termos que envolvem
:
Para completar o quadrado em
usamos a identidade
pois
. Substituindo:
Distribuindo o
:
Reorganizando os termos:
Dividindo por
para obter a forma padrão de uma circunferência:
Passo 5
Interpretação da forma canônica:
- O centro da circunferência é
. - O raio ao quadrado é
.
Para que a equação represente uma circunferência real com raio positivo precisamos de
Como
, isso equivale a
Há também o caso degenerado:
- Se
então e a equação representa uma “circunferência” degenerada, ou seja, um ponto (centro e raio ). - Se
então e não há solução real (não representa uma circunferência real).
Passo 6
Conclusão final e incentivo: portanto a condição sobre
e
é simples e vem de igualar os coeficientes quadráticos e exigir raio real positivo. Tu já fazes isso bem — é só lembrar: igualar os coeficientes quadráticos e completar o quadrado para obter o raio.