Para quais valores de k na equação \frac{x^{2}}{-2 k+6}+\frac{y^{2}}{-2 k-10}+\frac{z^{2}}{-2 k+20}=1, teremos um hiperboloide de duas folhas com elipses em z ?

Escolha uma opção:

a. k<-5
b. Não é possível
c. -5<k<3
d. k>10
e. 3<k<10

Passo 1

O enunciado apresenta a superfície
\frac{x^{2}}{-2k+6} + \frac{y^{2}}{-2k -10} + \frac{z^{2}}{-2k+20} = 1
e pergunta para quais valores de k isso é um hiperboloide de duas folhas com secções elípticas paralelas ao plano xy (ou seja, elipses em z). Para um hiperboloide de duas folhas orientado segundo o eixo z, o coeficiente de z^{2} deve ser positivo, e os de x^{2} e y^{2} negativos.

Passo 2

Identificamos cada coeficiente como o inverso do denominador. Queremos
\frac{z^{2}}{-2k+20} > 0 \quad\text{e}\quad \frac{x^{2}}{-2k+6} < 0,\quad \frac{y^{2}}{-2k-10} < 0.

Passo 3

Da condição \frac{z^{2}}{-2k+20}>0 segue
-2k+20>0 \quad\Longrightarrow\quad -2k>-20 \quad\Longrightarrow\quad k<10.

Passo 4

Da condição \frac{x^{2}}{-2k+6}<0 segue
-2k+6<0 \quad\Longrightarrow\quad -2k< -6 \quad\Longrightarrow\quad k>3.

Passo 5

Da condição \frac{y^{2}}{-2k-10}<0 segue
-2k-10<0 \quad\Longrightarrow\quad -2k<10 \quad\Longrightarrow\quad k>-5.

Passo 6

Combinando todas as desigualdades temos
k>3 \quad\text{e}\quad k<10,
o que dá
3<k<10.

Resposta

3<k<10 (opção e).

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