O ponto sim’etrico de um ponto P em rela, c̃ao a um plano \pi 'e o ponto P 'tal que: \pi \perp P P^{\prime} e o plano \pi intersecta o segmento P P^{\prime} em seu ponto m’edio. Determine o ponto sim’etrico de P=(2,1,-1) em rela,c̃ao plano \pi: 2 x+y-z=1.

Passo 1

O enunciado pede o ponto simétrico de P=(2,1,-1) em relação ao plano \pi\colon 2x+y-z=1. O conceito é que a reta que liga P ao simétrico P' é perpendicular a \pi e o ponto de encontro dessa reta com \pi é o ponto médio de PP'. Para resolver, vamos:
  1. Escrever \pi na forma ax+by+cz+d=0 e identificar o vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c).
  2. Calcular o pé da perpendicular H de P em \pi.
  3. Usar que H é o ponto médio entre P e P', ou seja, P'=2H-P.

Passo 2

Reescrevendo o plano em forma geral:
2x+y-z-1=0,
temos a=2, b=1, c=-1 e d=-1. O vetor normal é
\mathbf{n}=(2,1,-1).

Passo 3

O coeficiente da projeção (distância algébrica) é
t = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 + d}{a^2+b^2+c^2} = \frac{2\cdot2 + 1\cdot1 + (-1)\cdot(-1) - 1}{2^2+1^2+(-1)^2} = \frac{4+1+1-1}{6} = \frac{5}{6}.
O pé da perpendicular H é
H = P - t\,\mathbf{n} = (2,1,-1) - \frac{5}{6}\,(2,1,-1) = \Bigl(2-\tfrac{10}{6},\,1-\tfrac{5}{6},\,-1+\tfrac{5}{6}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{1}{6},\,-\tfrac{1}{6}\Bigr).

Passo 4

Como H é o ponto médio de PP', vale
P' = 2H - P = 2\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6}\Bigr) - (2,1,-1) = \Bigl(\tfrac{2}{3}-2,\;\tfrac{1}{3}-1,\;- \tfrac{1}{3}+1\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{4}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3}\Bigr).

Resposta

O ponto simétrico de P em relação a \pi é
\Bigl(-\tfrac{4}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3}\Bigr).

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