Para que valores do parâmetro m a equação quadrática
x^2-(m+1) x+m-1=0
a soma dos quadrados das raízes atinge menor valor?
Rta. m=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de m que minimiza a soma dos quadrados das raízes da equação quadrática
x^2 - (m+1)x + (m-1) = 0
O conteúdo envolvido são as relações de Viète para soma e produto das raízes, e a fórmula
r1^2 + r2^2 = (r1 + r2)^2 - 2,r1r2

Passo 2

Pelas relações de Viète, se r1 e r2 são as raízes, então
r1 + r2 = m + 1,
r1r2 = m - 1

Passo 3

Usando a identidade para soma dos quadrados,
r1^2 + r2^2 = (r1 + r2)^2 - 2,r1r2,
substituímos:
r1^2 + r2^2 = (m+1)^2 - 2(m-1) = m^2 + 2m +1 -2m +2 = m^2 + 3

Passo 4

A função
Q(m) = m^2 + 3
é um polinômio quadrático cujo valor mínimo ocorre no vértice, dado por
m = 0

Resposta

m = 0.

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