Para que valor de alpha a soma dos quadrados das raízes da equação
x^2-(alpha-2) x-alpha-1=0
toma seu menor valor?
Rta. alpha=1

Passo 1

O enunciado pede o valor de alpha que minimiza a soma dos quadrados das raízes da equação
x^2 - (alpha - 2),x - (alpha + 1) = 0
Este é um problema de manipulação de raízes de polinômio usando as fórmulas de Viète.

Passo 2

Sejam r1 e r2 as raízes da equação. Pelas fórmulas de Viète, temos
r1 + r2 = alpha - 2
e
r1,r2 = -(alpha + 1)

Passo 3

Queremos escrever
r1^2 + r2^2
em função de alpha. Usamos a identidade
r1^2 + r2^2 = (r1 + r2)^2 - 2,r1r2

Passo 4

Substituindo r1+r2 e r1r2 em termos de alpha, vem
r1^2 + r2^2 = (alpha - 2)^2 - 2l[-(alpha + 1)r] = (alpha - 2)^2 + 2(alpha + 1)
Desenvolvendo,
r1^2 + r2^2 = alpha^2 - 4alpha + 4 + 2alpha + 2 = alpha^2 - 2alpha + 6

Passo 5

A expressão alpha^2 - 2alpha + 6 é uma parábola voltada para cima, cujo mínimo ocorre no vértice
alpha = --22cdot1 = 1

Resposta

alpha = 1

Exercícios relacionados