os valores extremos absolutos e relativos de f(x) = 2 + 2 x^2 - x^4 no intervalo [2, 4].

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores extremos absolutos e relativos da função no intervalo [2, 4]. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge seus máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde ela pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de que fazem com que :
Podemos fatorar:
Isso nos dá:

Passo 4

Como o intervalo considerado é [2, 4], precisamos verificar quais desses valores estão dentro desse intervalo. Observamos que nenhum dos valores encontrados ( ) está dentro de [2, 4]. Isso significa que não há pontos críticos dentro do intervalo, e os extremos da função devem estar nas bordas do intervalo.

Passo 5

Vamos calcular os valores da função nas extremidades do intervalo:
Para :
Para :

Resposta

No intervalo [2, 4], a função atinge seu valor máximo absoluto em com e seu valor mínimo absoluto em com .

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