Encontre a transformada de Laplace das funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Transformada de Laplace. A função que precisamos transformar é
. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para funções do tipo exponencial vezes cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace, que a gente denota por
, é uma ferramenta que transforma funções do tempo
para uma variável complexa
. Isso facilita resolver equações diferenciais, por exemplo.
Passo 3
Agora, vamos decompor a função
em três partes:
Isso significa que vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo separadamente e depois somar os resultados.
Passo 4
Vamos calcular
. A fórmula da Transformada de Laplace para
é:
Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Quando temos uma função exponencial multiplicando uma função, usamos a propriedade de deslocamento:
Onde
é a Transformada de Laplace de
. Já sabemos que
, então:
Passo 6
Por último, vamos calcular
. Usando a mesma propriedade de deslocamento com
:
Passo 7
Agora, juntando tudo. A Transformada de Laplace de
é a soma das transformadas dos três termos:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é: