Encontre a transformada de Laplace das funções. f(t) = (1 - e^t + 3 e^(-4 t)) cos(5 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Transformada de Laplace. A função que precisamos transformar é . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para funções do tipo exponencial vezes cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace, que a gente denota por , é uma ferramenta que transforma funções do tempo para uma variável complexa . Isso facilita resolver equações diferenciais, por exemplo.

Passo 3

Agora, vamos decompor a função em três partes:
Isso significa que vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo separadamente e depois somar os resultados.

Passo 4

Vamos calcular . A fórmula da Transformada de Laplace para é:
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Quando temos uma função exponencial multiplicando uma função, usamos a propriedade de deslocamento:
Onde é a Transformada de Laplace de . Já sabemos que , então:

Passo 6

Por último, vamos calcular . Usando a mesma propriedade de deslocamento com :

Passo 7

Agora, juntando tudo. A Transformada de Laplace de é a soma das transformadas dos três termos:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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