Resolva as seguintes integrais:
integral0^+infty xe^2 x dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente integrais impróprias que vão até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integração por partes e o comportamento das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
integral0^+infty xe^2 x dx = integral0^+infty x cdot e^-2x dx
Aqui, a gente tem multiplicando uma função exponencial decrescente .

Passo 3

Vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^-2x dx Rightarrow v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cdot e^-2x dx = uv - integral v , du = x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) dx
Simplificando:
= -x2 e^-2x + 12 integral e^-2x dx

Passo 5

Agora, resolvemos a integral restante:
integral e^-2x dx = -12 e^-2x + C
Substituindo de volta:
-x2 e^-2x + 12 (-12 e^-2x) = -x2 e^-2x - 14 e^-2x

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a [ -x2 e^-2x - 14 e^-2x ]0^+infty :
-02 cdot 1 - 14 cdot 1 = -14
Quando 0 - (-14) = 14 , tende a 0, então o termo todo tende a 0. Quando :
Portanto, a diferença é:

Resposta

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