Para quais valores de f cada série é convergente?
sumn=2^infty(-1)^n-1 (ln n)^pn

Passo 1

Temos a série alternante dada por sumn=2^infty(-1)^n-1(ln n)^pn. O conteúdo aqui é o critério de Leibniz (séries alternantes): precisamos testar se os termos em módulo an=(ln n)^pn tendem a zero e são monótonos decrescentes a partir de algum índice.

Passo 2

Primeiro, vemos que limntoinftyan=limntoinfty(ln n)^pn=0 para todo pinR, pois ln n cresce mais devagar que qualquer potência de n. Em seguida, consideramos a função f(x)=(ln x)^px. Calculando a derivada,
f'(x)=(ln x)^p-1x^2l(p-ln xr),
Observamos que para x>e^p temos ln x>p, logo f'(x)<0. Ou seja, (an) é decrescente para n suficientemente grande.

Passo 3

Pelo critério de Leibniz, como anto0 e (an) é decrescente a partir de n>e^p, a série converge para qualquer p.

Passo 4

Para saber quando ela converge absolutamente, analisamos sumn=2^infty(ln n)^pn pelo teste da integral. Estudamos
integral2^infty(ln x)^px,dx=(ln x)^p+1p+1|2^infty,
que diverge se p+1>=0 (ou seja, p>=-1) e converge se p+1< -1 (isto é, p< -1).

Resposta

A série converge (condicionalmente) para todo pinR. Ela converge absolutamente se e somente se p< -1 e converge apenas condicionalmente para p>=-1.

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