Temos a série alternante dada por . O conteúdo aqui é o critério de Leibniz (séries alternantes): precisamos testar se os termos em módulo tendem a zero e são monótonos decrescentes a partir de algum índice.
Passo 2
Primeiro, vemos que para todo , pois cresce mais devagar que qualquer potência de . Em seguida, consideramos a função . Calculando a derivada,
Observamos que para temos , logo . Ou seja, é decrescente para suficientemente grande.
Passo 3
Pelo critério de Leibniz, como e é decrescente a partir de , a série converge para qualquer .
Passo 4
Para saber quando ela converge absolutamente, analisamos pelo teste da integral. Estudamos
que diverge se p+1>=0 (ou seja, p>=-1) e converge se p+1< -1 (isto é, p< -1).
Resposta
A série converge (condicionalmente) para todo pinR. Ela converge absolutamente se e somente se p< -1 e converge apenas condicionalmente para p>=-1.