Para quais valores de
cada série é convergente?
Passo 1
Temos a série alternada
. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries: o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste da p-série. Vamos precisar verificar as condições de monotonia e de anulação do termo geral, e depois checar a convergência absoluta.
Passo 2
Usamos o critério de Leibniz: se
é positiva, decrescente e
, então
converge. Calculamos
Concluímos que para
a sequência
é decrescente e tende a zero, logo a série alternada converge. Se
, o termo geral não tende a zero, então a série diverge.
Passo 3
Para verificar convergência absoluta, analisamos a série positiva
. Sabemos que a p-série converge se e somente se
e diverge se
.
Passo 4
Portanto, combinando os resultados: para
a série converge absolutamente; para
ela converge apenas condicionalmente; e para
diverge.
Resposta
Converge absolutamente para p>1, converge condicionalmente para 0<p≤1 e diverge para p≤0.