Para quais valores de f cada série é convergente?
sumn=1^infty (-1)^n-1n^p

Passo 1

Temos a série alternada sumn=1^infty (-1)^n-1n^p. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries: o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste da p-série. Vamos precisar verificar as condições de monotonia e de anulação do termo geral, e depois checar a convergência absoluta.

Passo 2

Usamos o critério de Leibniz: se an=1/n^p é positiva, decrescente e limntoinftyan=0, então sum(-1)^n-1an converge. Calculamos
limntoinfty1n^p= 0,&p>0, infty ou não existe termo tendendo a zero,&p<=0 ã
Concluímos que para p>0 a sequência 1/n^p é decrescente e tende a zero, logo a série alternada converge. Se p<=0, o termo geral não tende a zero, então a série diverge.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, analisamos a série positiva sumn=1^infty1n^p. Sabemos que a p-série converge se e somente se p>1 e diverge se p<=1.

Passo 4

Portanto, combinando os resultados: para p>1 a série converge absolutamente; para 0 ela converge apenas condicionalmente; e para p<=0 diverge.

Resposta

Converge absolutamente para p>1, converge condicionalmente para 0<p≤1 e diverge para p≤0.

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