Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço seja dada por
T(x, y, z)=201+x^2+2 y^2+3 z^2,
onde T é medida em graus Celsius e x, y e z em metros. Em que direção no ponto (-2,1,-1) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre como a temperatura varia no espaço tridimensional. A função que dá a temperatura é
T(x, y, z)=201+x^2+2 y^2+3 z^2,
e queremos descobrir em que direção a temperatura aumenta mais rápido no ponto (-2,1,-1) e qual é essa taxa máxima de aumento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função T(x, y, z). O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Então, vamos encontrar partial Tpartial x, partial Tpartial y e partial Tpartial z.

Passo 3

Vamos começar calculando partial Tpartial x. Usando a regra do quociente:
partial Tpartial x = 0 cdot (1 + x^2 + 2y^2 + 3z^2) - 20 cdot 2x(1 + x^2 + 2y^2 + 3z^2)^2 = -40x(1 + x^2 + 2y^2 + 3z^2)^2

Passo 4

Agora, calculamos partial Tpartial y:
partial Tpartial y = 0 cdot (1 + x^2 + 2y^2 + 3z^2) - 20 cdot 4y(1 + x^2 + 2y^2 + 3z^2)^2 = -80y(1 + x^2 + 2y^2 + 3z^2)^2

Passo 5

E por fim, partial Tpartial z:
partial Tpartial z = 0 cdot (1 + x^2 + 2y^2 + 3z^2) - 20 cdot 6z(1 + x^2 + 2y^2 + 3z^2)^2 = -120z(1 + x^2 + 2y^2 + 3z^2)^2

Passo 6

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (-2,1,-1):
partial Tpartial xg|(-2,1,-1) = -40(-2)(1 + (-2)^2 + 2(1)^2 + 3(-1)^2)^2 = 80(1 + 4 + 2 + 3)^2 = 80100 = 0.8
partial Tpartial yg|(-2,1,-1) = -80(1)100 = -0.8
partial Tpartial zg|(-2,1,-1) = -120(-1)100 = 1.2

Passo 7

Então, o gradiente de T no ponto (-2,1,-1) é:
nabla T = (0.8, -0.8, 1.2)
Esse vetor indica a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente.

Passo 8

Para encontrar a direção de maior aumento, vamos transformar o gradiente em um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1). A fórmula para isso é:
Direção = nabla T|nabla T| çã
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
|nabla T| = raiz0.8^2 + (-0.8)^2 + 1.2^2 = raiz0.64 + 0.64 + 1.44 = raiz2.72 approx 1.648

Passo 9

Agora, dividimos cada componente do gradiente pelo módulo:
Direção = (0.81.648, -0.81.648, 1.21.648) approx (0.485, -0.485, 0.728) çã
Então, a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente é aproximadamente (0.485, -0.485, 0.728).

Passo 10

Por fim, a taxa máxima de aumento da temperatura é justamente o módulo do gradiente que já calculamos:
|nabla T| approx 1.648 graus Celsius por metro

Resposta

A temperatura aumenta mais rapidamente na direção aproximadamente (0.485,, -0.485,, 0.728) no ponto (-2,1,-1), e a taxa máxima de aumento é de cerca de 1.648 graus Celsius por metro.

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