Suponha que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por
onde é medida em graus Celsius e e em metros. Em que direção no ponto a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre como a temperatura varia no espaço tridimensional. A função que dá a temperatura é
e queremos descobrir em que direção a temperatura aumenta mais rápido no ponto e qual é essa taxa máxima de aumento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior variação de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Então, vamos encontrar , e .
Passo 3
Vamos começar calculando . Usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, calculamos :
Passo 5
E por fim, :
Passo 6
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
partial Tpartial yg|(-2,1,-1) = -80(1)100 = -0.8
partial Tpartial zg|(-2,1,-1) = -120(-1)100 = 1.2
Passo 7
Então, o gradiente de T no ponto (-2,1,-1) é:
nabla T = (0.8, -0.8, 1.2)
Esse vetor indica a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente.
Passo 8
Para encontrar a direção de maior aumento, vamos transformar o gradiente em um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1). A fórmula para isso é:
Então, a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente é aproximadamente (0.485, -0.485, 0.728).
Passo 10
Por fim, a taxa máxima de aumento da temperatura é justamente o módulo do gradiente que já calculamos:
|nabla T| approx 1.648 graus Celsius por metro
Resposta
A temperatura aumenta mais rapidamente na direção aproximadamente (0.485,, -0.485,, 0.728) no ponto (-2,1,-1), e a taxa máxima de aumento é de cerca de 1.648 graus Celsius por metro.