Para que valores de a \in \mathbb{R} a integral
\int_{1}^{\infty} e^{a x} d x
converge?

Passo 1

O enunciado pede: determinar para quais valores de a\in\mathbb{R} a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} e^{a x}\,dx
é convergente.
Informações dadas:
  • A integral é sobre o intervalo [1,\infty).
  • O integrando é a função x\mapsto e^{a x}, que depende do parâmetro real a.
    O que se quer saber é para que valores de a o limite que define essa integral imprópria existe e é finito.

Passo 2

O que significa “integral impropria converge”: a integral
\int_{1}^{\infty} e^{a x}\,dx
é definida como o limite
\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} e^{a x}\,dx.
Convergência significa que esse limite existe e é finito. Divergência significa que o limite não existe ou é infinito. Vou calcular a integral indefinida e depois avaliar o limite acima.

Passo 3

Calculo da primitiva (antiderivada) de e^{a x}. Lembre que, para a\neq 0,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}e^{a x}\right)=\frac{1}{a}\cdot a e^{a x}=e^{a x},
ou seja, uma primitiva é \dfrac{1}{a}e^{a x}. Portanto, para a\neq 0,
\int_{1}^{b} e^{a x}\,dx=\left.\frac{1}{a}e^{a x}\right|_{x=1}^{x=b}=\frac{1}{a}\bigl(e^{a b}-e^{a}\bigr).

Passo 4

Agora passo ao limite quando b\to\infty. Preciso estudar o comportamento de e^{a b} quando b\to\infty, que depende do sinal de a.
  • Se a>0, então a b\to\infty quando b\to\infty, logo e^{a b}\to\infty. Assim \frac{1}{a}\bigl(e^{a b}-e^{a}\bigr)\to\infty,e portanto a integral diverge (vai para +\infty) quando a>0.

Passo 5

  • Se a<0, escreva a=-\alpha com \alpha>0. Então e^{a b}=e^{-\alpha b} e quando b\to\infty tem e^{-\alpha b}\to 0. Portanto, para a<0, \lim_{b\to\infty}\frac{1}{a}\bigl(e^{a b}-e^{a}\bigr)=\frac{1}{a}\bigl(0-e^{a}\bigr)=-\frac{e^{a}}{a}.Esse é um número finito (note que -\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{|a|} é positivo), então a integral converge quando a<0. Para referência, pode-se reescrever o valor da integral convergente como \int_{1}^{\infty} e^{a x}\,dx=-\frac{e^{a}}{a}=\frac{e^{a}}{|a|}\qquad(\text{para }a<0).

Passo 6

  • Resta o caso a=0. Se a=0 o integrando é e^{0\cdot x}=1 e \int_{1}^{\infty} 1\,dx=\lim_{b\to\infty}(b-1)=\infty,logo diverge.

Passo 7

Conclusão consolidada: a integral converge exatamente quando a<0. Para esses a o valor da integral é -\dfrac{e^{a}}{a}.

Resposta

Converge somente para a<0.

Exercícios relacionados