Dado a>0, calcule
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pede-se calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x}\,dx sabendo que a>0.
  • Informação importante: a>0 garante que a exponencial \,e^{-a x}\, decai quando x\to\infty, o que torna a integral convergente (a exponencial vence qualquer potência de x).

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar.
  • Vou usar integração por partes duas vezes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv.
  • Explicação curta: escolhe-se u de modo a reduzir a potência de x (aqui x^{2} vira 2x e depois 1), e dv como a parte exponencial (fácil de integrar).

Passo 3

Definir a integral e aplicar a primeira integração por partes.
  • Defino
I(a)=\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-a x}\,dx.
  • Faço integração por partes com u=x^{2} e dv=e^{-a x}\,dx. Então
du=2x\,dx,\qquad v=\int e^{-a x}\,dx=-\frac{1}{a}e^{-a x}.
  • Pela fórmula,
I(a)=\Big[ x^{2}\cdot\Big(-\frac{1}{a}e^{-a x}\Big)\Big]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\Big(-\frac{1}{a}e^{-a x}\Big)\cdot 2x\,dx.
  • Agora avalio o termo de fronteira \displaystyle \lim_{x\to\infty} -\frac{x^{2}}{a}e^{-a x}. Como a>0, a exponencial \,e^{-a x}\, domina e faz esse limite ser 0. No x=0 o termo é 0. Logo o termo de fronteira é 0.
  • Assim obtemos
I(a)=\frac{2}{a}\int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx por integração por partes outra vez.
  • Chamo essa integral de J(a):
J(a)=\int_{0}^{\infty} x e^{-a x}\,dx.
  • Faço integração por partes com u=x e dv=e^{-a x}\,dx. Então
du=dx,\qquad v=-\frac{1}{a}e^{-a x}.
  • Pela fórmula,
J(a)=\Big[-\frac{x}{a}e^{-a x}\Big]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\Big(-\frac{1}{a}e^{-a x}\Big)\,dx.
  • O termo de fronteira \displaystyle \lim_{x\to\infty}-\frac{x}{a}e^{-a x}=0 (novamente a exponencial vence a potência) e no x=0 é 0. Então o primeiro termo é 0 e resta
J(a)=\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx.

Passo 5

Calcular a integral simples e concluir.
  • A integral geométrica é
\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx=\Big[-\frac{1}{a}e^{-a x}\Big]_{0}^{\infty}=\frac{1}{a}.
  • Portanto
J(a)=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{a^{2}}.
  • Voltando para I(a) (lembre que I(a)=\dfrac{2}{a}J(a)):
I(a)=\frac{2}{a}\cdot\frac{1}{a^{2}}=\frac{2}{a^{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{a^{3}}

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