Dado
, calcule
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Pede-se calcular a integral imprópria
sabendo que . - Informação importante:
garante que a exponencial decai quando , o que torna a integral convergente (a exponencial vence qualquer potência de ).
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar.
- Vou usar integração por partes duas vezes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
.
- Explicação curta: escolhe-se
de modo a reduzir a potência de (aqui vira e depois ), e como a parte exponencial (fácil de integrar).
Passo 3
Definir a integral e aplicar a primeira integração por partes.
- Defino
- Faço integração por partes com
e . Então
- Pela fórmula,
- Agora avalio o termo de fronteira
. Como , a exponencial domina e faz esse limite ser . No o termo é . Logo o termo de fronteira é . - Assim obtemos
Passo 4
Calcular a integral
por integração por partes outra vez.
- Chamo essa integral de
:
- Faço integração por partes com
e . Então
- Pela fórmula,
- O termo de fronteira
(novamente a exponencial vence a potência) e no é . Então o primeiro termo é e resta
Passo 5
Calcular a integral simples e concluir.
- A integral geométrica é
- Portanto
- Voltando para
(lembre que ):