Para quais valores de a in N se satisfaz que:
a+2 mid a^4+2 a^3+a^2+1.

Passo 1

O enunciado pede os ainN tais que
a+2 mid P(a),
onde
P(a)=a^4+2a^3+a^2+1
O conteúdo usado será o Teorema do Resto para polinômios (ou substituição direta).

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de P(a) por a+2 é dado por P(-2). Logo, para ter
a+2mid P(a)
precisamos de
a+2mid P(-2)

Passo 3

Calculemos P(-2):
P(-2)=(-2)^4+2(-2)^3+(-2)^2+1 =16-16+4+1 =5

Passo 4

Como a+2 deve dividir 5, e os divisores positivos de 5 são 1 e 5, temos
a+2=1implies a=-1(não em N), ã
a+2=5implies a=3(válido em N) á
Portanto, o único ainN que satisfaz a condição é 3.

Resposta

a=3

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