Verifique se as séries convergem ou divergem. Para as séries convergentes determine sua soma.
sumn=1^infty(3n(n+3)+54^n) R: 72

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência de \r
sumn=1^inftyl(3n(n+3)+54^nr)\r
e, se convergente, calcular sua soma. O conteúdo aqui envolve séries telescópicas (para o termo racional) e séries geométricas. Vamos separar em duas séries mais simples:\r
sumn=1^infty3n(n+3)esumn=1^infty54^n

Passo 2

Para a primeira série, fazemos frações parciais em \r
3n(n+3). Procuramos A e B tais que\r
3n(n+3)=An+Bn+3\r
Multiplicando por n(n+3) obtém-se \r
3=A(n+3)+Bn=(A+B)n+3A\r
Comparando coeficientes: A+B=0 e 3A=3, daí\r
;A=1, B=-1\r
Logo\r
3n(n+3)=1n-1n+3

Passo 3

A série torna-se telescópica:\r
\r
Fazendo Ntoinfty, os três últimos termos vão a zero, restando\r
sumn=1^infty3n(n+3)=1+tfrac12+tfrac13=116

Passo 4

A segunda série é geométrica de primeiro termo \r
a=54^1=54 e razão \r
r=tfrac14. Como |r|<1, ela converge, e\r

Passo 5

Somando os dois resultados:\r

Resposta

A série converge e sua soma é 72

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