Verifique se as séries convergem ou divergem. Para as séries convergentes determine sua soma.
R:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência de \r
e, se convergente, calcular sua soma. O conteúdo aqui envolve séries telescópicas (para o termo racional) e séries geométricas. Vamos separar em duas séries mais simples:\r
Passo 2
Para a primeira série, fazemos frações parciais em \r
. Procuramos
e
tais que\r
Multiplicando por
obtém-se \r
Comparando coeficientes:
e
, daí\r
Logo\r
Passo 3
A série torna-se telescópica:\r
\r
Fazendo
, os três últimos termos vão a zero, restando\r
Passo 4
A segunda série é geométrica de primeiro termo \r
e razão \r
. Como
, ela converge, e\r
Passo 5
Somando os dois resultados:\r
Resposta
A série converge e sua soma é