(3 valores) Determinar \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} se
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}^{6} y^{2}-2 x^{4} y^{3}+x^{2} y^{2}+2 x^{2} y+x^{3} \mathrm{e}^{3 y}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as segundas derivadas parciais de
f(x,y)=x^{6}y^{2}-2x^{4}y^{3}+x^{2}y^{2}+2x^{2}y+x^{3}e^{3y}.
O conteúdo envolvido é derivação parcial de ordem 2. Para cada derivada parcial em x trataremos y como constante, e para cada derivada parcial em y trataremos x como constante. Vamos seguir termo a termo usando a regra do poder e a regra do produto.

Passo 2

Calculando a primeira derivada parcial em x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{6}y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x^{4}y^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}e^{3y}\bigr).
Derivando cada termo:
\frac{\partial f}{\partial x} =6x^{5}y^{2}-8x^{3}y^{3}+2x\,y^{2}+4x\,y+3x^{2}e^{3y}.

Passo 3

Agora derivamos \frac{\partial f}{\partial x} novamente em x, tratando y como constante:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6x^{5}y^{2}\bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\bigl(8x^{3}y^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x\,y\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}e^{3y}\bigr).
Fica
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =30x^{4}y^{2}-24x^{2}y^{3}+2y^{2}+4y+6x\,e^{3y}.

Passo 4

Calculando a primeira derivada parcial em y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{6}y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x^{4}y^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}y\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}e^{3y}\bigr).
Derivando termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial y} =2x^{6}y-6x^{4}y^{2}+2x^{2}y+2x^{2}+3x^{3}e^{3y}.

Passo 5

Derivando \frac{\partial f}{\partial y} novamente em y, com x fixo:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{6}y\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6x^{4}y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}y\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{3}e^{3y}\bigr).
Isso resulta em
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =2x^{6}-12x^{4}y+2x^{2}+9x^{3}e^{3y}.

Passo 6

Para a derivada mista \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} derivamos \frac{\partial f}{\partial x} em y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6x^{5}y^{2}-8x^{3}y^{3}+2x\,y^{2}+4x\,y+3x^{2}e^{3y}\bigr).
Derivando cada termo em relação a y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} =12x^{5}y-24x^{3}y^{2}+4x\,y+4x+9x^{2}e^{3y}.

Resposta

\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =30x^{4}y^{2}-24x^{2}y^{3}+2y^{2}+4y+6x\,e^{3y},
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =2x^{6}-12x^{4}y+2x^{2}+9x^{3}e^{3y},
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} =12x^{5}y-24x^{3}y^{2}+4x\,y+4x+9x^{2}e^{3y}.

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